1. Простая модель линейной регрессии. Расчет коэффициентов в модели парной линейной регрессии.

Если между показателями X и Y нет функциональной зависимости, то предполагается, что связь между X и Y выражается стохастической моделью вида:

, (1.1) Где f (x) - некоторая функция, выражающая зависимость переменной Y от фактора X, а U_t - случайная функция, характеризующая влияние неучтенных факторов, t - время наблюдения.

Обычно считают, что U_t, нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием M(U_t)=0, постоянной дисперсией D(U_t)=const и ковариацией cov(U_t,U_t+s)=0, s>0. В этом случае уравнение называется уравнением простой регрессии, а функция f(X) - функцией регрессии.

= (1.2)

Если f(X) - линейная функция то уравнение (1.2) примет вид:

(1.3) и называется уравнением простой (однофакторной) линейной регрессии.

Коэффициенты а₀ и а₁ называются коэффициентами простой линейной регрессии.

При рассмотрении модели ( ) коэффициенты а₀ и а₁ выбирают так, чтобы функция ( ) наилучшим (в некотором смысле) образом приближала значения из табл. 1

№	1	2	3	…	n
Показатель X	X1	X2	X3	…	Xn
Показатель Y	Y1	Y2	Y3	…	Yn

2. Коэффициент корреляции Пирсона г. Объясненная, необъясненная и общая вариации переменной у. Коэффициент детерминации. Ошибки и остатки.

Коэффициент корреляции Пирсона - это коэффициент параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Коэффициент корреляции Пирсона обычно обозначается как r_xy. . Коэффициент корреляции - используется для оценки тесноты связи между показателями X и Y:

(1.4)

Известно, что При этом, чем ближе к 1, тем сильнее статистическая связь между X и Y, если r_xy=0, то связь между X и Y отсутствует. Если r_xy > 0, то имеется положительная корреляция, т.е. при возрастании X статистически возрастает Y; если r_xy < 0, то имеется отрицательная - при возрастании X показатель Y статистически убывает.

Считается, что если |r_xy|>0,7 то связь между показателями X и Y высокая и можно строить простую регрессию, если r_xy<0,5 то связь между показателями слабая и вместо X необходимо выбрать другой фактор для построения простой регрессии показателя Y, или увеличить количество наблюдений.

Объясненная, необъясненная и общая вариация переменной у

Цель регрессионного анализа состоит в том, чтобы объяснить поведение переменной Ув зависимости от изменения выбранных факторов X₁, Х₂,…, Х_n. В парном регрессионном анализе мы пытаемся объяснить поведение Упутем определения регрессионной зависимости У от фактораX. Для этой цели используется метод дисперсионного анализа.

Согласно основной идеи дисперсионного анализа общую сумму квадратов отклонений переменной у от среднего значения ӯ можно разложить на 2 части: объясненную и необъясненную:

 - общая сумма квадратов отклонений (TSS ),

 - объясненная или регрессионная сумма квадратов (ESS ),

 - необъясненная или остаточная сумма квадратов (RSS ).

TSS(общая сумма квадратов отклонений)=ESS(объясненная сумма квадратов) +RSS(необъясненная сумма квадратов).

Общая сумма квадратов отклонений значения результативного показателя от среднего значения вызвано множеством причин. Условно разделим всю совокупность на 2 группы: влияние изучаемого фактораX и влияние прочих факторов. Если фактор X не влияет наУ, то линия регрессии параллельна оси ОХ (ŷ=ӯ), тогда вся дисперсия результативного показателя обусловлена воздействием прочих факторов. TSS= RSS.

Если же прочие факторы не влияют на результат, тоУ связан с X функционально и остаточная сумма квадратов отклонений отсутствует.

TSS(общая сумма квадратов отклонений)=ESS(объясненная сумма квадратов)

Коэффициент детерминации R² (R-квадрат) служит для оценки степени соответствия модели фактическим данным.

(1.6)

Величина называется вариацией регрессии, а - вариацией наблюдений относительно среднего.

Здесь имеет место неравенство 0<R²<1. Коэффициент детерминации R² показывает, какую часть фактической вариации переменной Y составляет вариация регрессии. Если R²=0,85, то модель объясняет наблюдаемые значения переменных на 85%.

Чем ближе R² к 1, тем точнее модель линейной регрессии; если R²>0,8 то модель линейной регрессии считается точной; если R²<0,5, то модель является неудовлетворительной, надо строить нелинейную регрессию или выбирать другой фактор X.

Ошибки и остатки

Стандартная ошибка регрессии (стандартная ошибка оценки) рассматривается в качестве меры разброса данных наблюдений от смоделированных значений:

Вычислить стандартную ошибку регрессии:

Стандартные ошибки коэффициентов определяются формулами:

Остатки регрессии - это разности между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными изучаемой регрессионной моделью. 

Чем лучше регрессионная модель согласуется с данными, тем меньше величина остатков. i-ый остаток ( ) вычисляется как: 

 

где 

 - наблюдаемое значение; 

 - соответствующее предсказанное значение. 

3. Предсказания и прогнозы на основе модели линейной регрессии.

Построенная модель используется для определения значений y в точках x, которых нет в исходной таблице. Поиск значения y для x из исходного интервала  называется предсказанием, а поиск значения y для xвне исходного интервала  называется прогнозом. Чем дальше расположен x от интервала  , тем менее точным будет прогноз.

Для прогноза значений переменной можно воспользоваться статистической функцией ТЕНДЕНЦИЯ(изв_значение_y; изв_значение_x; нов_значение_x; константа), где нов_значение_x ¾ ссылка на ячейки, содержащие значения переменной x, для которых делается прогноз. Аргумент константа является необязательным. Если он равен 0, то коэффициент в уравнении линейной регрессии  . Функция сама подбирает уравнение прямой линии и дает прогноз.

Можно использовать функцию ПРЕДСКАЗ(x; изв_значение_y; изв_значение_x), где x ¾ это значение переменной x, для которой делается прогноз.