ГОСы - УИТС - Теория, шпоры, вопросы, ответы / Алгебра логики

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Алгебра логики или алгебра высказываний разработана Джорджем Булем в 1854 г. Отсюда второе название "Булева алгебра". Логическая функция – закон соответствия между логическими переменными (функция дискретная). Логическая переменная либо есть, либо ее нет. Логическая функция может иметь произвольное число логических переменных. Область определения насчитывает значений, где n – количество переменных. Таблица истинности логической функции устанавливает соответствия между возможными наборами значений логических переменных и значениями логической функций (табличный метод задания логической функции). Любая логическая функция представляется через элементарные логические функции. Эта алгебра оперирует двумя понятиями – ложь и правда. Для технических целей удобно заменить ложь=0, правда=1. Тогда будем оперировать двумя символами 0 и 1.

Если в обычной алгебре буквами A, B, C…X, Y, Z обозначаются произвольные числа, то в булевой алгебре их всего два. Над этими числами производятся не арифметические, а логические операции.

Логические операции и элементарные логические функции.

ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)

Таблица сложения: Выполняет логическую операцию ИЛИ.

0 v 0 = 0 Обозначается X=AvB.

0 v 1 = 1

1 v 0 = 1 На выходе появится сигнал 1, когда

1 v 1 = 1 ИЛИ на первом ИЛИ на втором входе

Обозначение на схемах: есть сигнал 1.

Эту схему в электронике называют

A 1 X=AvB схемой сборки.

B Технический пример: сигнал о пожаре.

КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)

Таблица умножения: Выполняет логическую операцию И.

0  0 = 0 Обозначается X=A^B.

0  1 = 0

1  0 = 0 На выходе появится сигнал 1, когда

1  1 = 1 И на первом И на втором входе

Обозначение на схемах: есть сигнал 1.

Эту схему в электронике называют

A & X=AB схемой совпадений.

B Технический пример: сигнал "готовность".

ИНВЕРСИЯ (логическое отрицание)

Таблица сложения: Выполняет логическую операцию НЕ.

1 = 0 Обозначается чертой сверху.

0 = 1

Обозначение на схемах:

Эту схему в электронике называют

A 1 X=A инвертором.

Технический пример: сигнал о пожаре.

ОТРИЦАНИЕ ОТ КОНЪЮКЦИИ (И-НЕ)

0 & 0 = 1

0 & 1 = 1 ___

1 & 0 = 1 A & F=A&B

1 & 1 = 0 B

функция Шеффера

ОТРИЦАНИЕ ОТ ДИЗЪЮНКЦИИ (ИЛИ-НЕ)

0 0 1 Стрелка Пирса

0 1 0 __ X1 1 F

1 0 0 F=Xn; F=1, если Xn=0 X2

1 1 0

РАВНОЗНАЧНОСТЬ

X1	X2	F
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

__ __

X1 F=X1&X2 V X1&X2

X2 = F

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

1. Законы одинарных элементов

A v 1 = 1

A  1 = A Эти соотношения доказываются путем подстановки

A v 0 = A A=1 и A=0

A  0 = 0

2. Законы отрицания

­_

A = A Закон двойного отрицания

A A = 0 Законы дополнительности

A vA = 1

_ _ _____

A v B = A  B Правило де Моргана Следствия из правила де Моргана:

_ _ _____ ___ ____

A  B = A v B A v B =AB A vB =A v B

____ _____

AB =A vB AB =A v B

3. Комбинационные законы

A v A = A Законы тавтологии

A  A = A

A v B = B v A Коммутативные законы

A  B = B  A

(A v B) v C = A v (B v C) Ассоциативные законы

(A  B)  C = A  (B  C)

A(B v C) = AB v AC Дистрибутивные законы

A v (BC) = (A v B)(A v C) Второй дистрибутивный закон можно доказать на

основе первого:

(AvB)(AvC) = AAvACvBAvBC = AvACvABvBC = =A(1vCvB)vBC = A v BC

A v AB = A Законы поглощения Законы поглощения можно доказать:

A(A v B) = A AvAB = A(1vB) = A

A(AvB) = AAvAB = AvAB = A(1vB) = A

A B v AB = A Законы склеивания

(A v B)(A vB) = A Доказательство:

A B v AB = A(B vB) = A

(A v B)(A vB) = A A v AB v A B v BB = A v AB v AB = =A(1 vB v B) = A

ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ

Каждое логическое выражение можно реализовать в виде конкретной логической схемы:

a 1 a ab 1 D=a vab

&

b

Можно попытаться преобразовать это выражение:

___ ________ __________ ___

D = a vab =aab =a(a vb)= a a vab =ab = a v b

Следовательно D=a v b a 1 D=a v b

b

Эта схема намного проще, поэтому всегда следует стараться упростить выражение.

Это же преобразование можно сделать с помощью второго дистрибутивного закона, а затем закона склеивания:

D = a vab = (a va)(a v b)= a v b

Логические элементы. Параметры логических элементов. Типы выходных каскадов.

Логические элементы строятся на базе ключа. Под логическими элементами понимаются схемы малой интеграции. Можно реализовать на следующих элементах: электромагнитные реле, диоды, транзисторные интегральные микросхемы.

Различают статические и динамические параметры логических элементов:

Статические параметры:

1. Помехоустойчивость.

-это максимальное напряжение, которое можно добавить к Umax без переключения инвертора