1.2 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)
Рассмотрим
равновесие жидкости (рис. 11). Возьмем
точку А
и выделим около нее прямоугольный
параллелепипед со сторонами
,
,
.
Обозначим внешние силы, отнесенные к
единице массы через
.
Внешними силами здесь будут:
- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;
- силы гидростатического давления, действующие на грани параллелепипеда со стороны окружающей жидкости.
Рисунок 11 – К выводу уравнений Эйлера
Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси х.
Проекция
объемных сил
на ось х
будет равна:
;
Следовательно, проекции объемных сил на все оси:
Гидростатическое
давление в точке В
обозначим
,
а в точке С
–
через
.
Если давление изменяется по линейному
закону и непрерывно, тогда:
;
,
где
–
градиент гидростатического давления;
р – давление в точке А.
Силы, действующие на грани, равны:
;
.
Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно оси x:
;
Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в виде:
Окончательно уравнение равновесия относительно оси х будет иметь вид:
А
налогично
получим уравнение равновесия относительно
осей y
и z
и
запишем полную систему уравнений,
которые называются уравнениями Эйлера.
Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения гидростатического давления в дифференциальной форме.
Для
дальнейшего преобразования умножим
каждое из уравнений системы на
соответственно
а сложив их почленно, получим следующее выражение:
.
Левая часть представляет полный дифференциал давления dp функции . А так как левая часть – полный дифференциал функции, то и правая тоже. Только в этом случае уравнение может иметь смысл. Для этого
необходимо,
чтобы существовала функция
,
производные которой были равны:
; 
; 
.
Функция
и обратная ей функция
называются
потенциальными. Следовательно, поле
массовых сил потенциальное
или
,
где
функция
выражает потенциальную энергию поля
массовых сил (сил тяжести и инерции).
Интегрируя функцию для несжимаемой жидкости, получаем:
или
где С – постоянная интегрирования.
Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде:
.
Дадим
определение поверхности
равного давления: это
поверхность, проведенная в покоящейся
жидкости таким образом, что давление
во всех ее точках одинаково, т. е.
.
Поверхности равного давления обладают
следующими основными свойствами:
- построенные для различных гидростатических давлений, они не имеют общих точек, т. е. не пересекаются;
- они всегда нормальны к направлению равнодействующей внешних объемных сил, приложенных к жидкости.
1.3 Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим наиболее важный для практики частный случай равновесия жидкости, находящейся под действием только сил тяжести. Давление на
поверхности
будем считать известным и равным
,
отличным от атмосферного (рис. 12).
Так как на жидкость действует только сила тяжести, то:
(ускорения
по осям X
и Y
отсутствуют, а по оси Z
ускорение свободного падения направлено
вниз, поэтому
).
Подставим X, Y, Z в уравнения Эйлера (первые два уравнения обращаются в нуль) и получим:
После
интегрирования
Для
вычисления постоянной интегрирования
С,
подставим граничные условия
и получим её значение:
а подставив С в полученное выше уравнение, запишем:
Уравнение
выражает закон
сохранения энергии в
покоящейся
жидкости. Сумма
удельной потенциальной энергии положения
z
и удельной потенциальной энергии
давления
есть
величина постоянная во всех точках
данной покоящейся жидкости.
Окончательно получим
.
А если
учесть, что
,
то
,
где h – глубина погружения точки в жидкость.
Рисунок 12 – К основному уравнению гидростатики
Это уравнение выражает закон Паскаля: давление, приложенное к граничной поверхности жидкости. передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям и без изменения.
Закон Паскаля используется при проектировании гидростатических машин, например, гидравлического пресса.