2.2.4 Непрерывные и дискретные процессы

Эти термины мы уже использовали, сейчас расширим знания.

Процессы бывают непрерывные, дискретные и смешанные. Сначала поясним это рисунком:

yy

=

=

непрерывный дискретный смешанный

Понятие непрерывности описывает ситуацию, когда бесконечно близко к любой точке функции (у нас – процесса) имеется другая точка. У непрерывной функции бесконечное количество точек. Перечислить все эти точки невозможно, область задания принято задавать неравенствами, или, например, словами «все точки между числом a и числом b » .

М атематическая суть непрерывности показана на Рис.

фундаментальное свойство

непрерывности:

при δ→ 0 ε → 0

Приведём типы непрерывных функций (вторая и третья – с изломами):

НЕнепрерывная функция имеет разрыв. Такая функция может не существовать (быть не определенной) для отдельных промежутков и даже точек. Пример – вторая из приведённых ниже функций.

Если значение функции в точке разрыва существует, то его принято показывать стрелкой

Процесс называется дискретным, если переход от состояния к состоянию происходит скачками.

Более строгим являеся следующее определение дискретного процесса. Для параметра процесса t переход от его значения t_i к следующему значению t_i+1 происходит с пропуском промежуточных значений tϵ(t_i, t_i+1).

Покажем примерами, что такие процессы существуют: Максимальная температура за день. Количество студентов на лекции по неделям занятий. Сумма на вкладе. Отчеты по продаже товаров, билетов и пр. Количество листов, изготовленных на печатной машине на заданный промежуток времени.

Многие процессы в принципе непрерывны, но их удобно представлять дискретными.

Количество бетона, уложенного за смену. Ежедневная запись параметров самочувствия больного. Замеры солености воды при погружении в глубину океана. Запись волнения и ветра в вахтенном журнале.

В дискретном процессе состояния всегда можно перенумеровать – т.е. сопоставить им последовательные целые числа: 1, 2, … , N.

Кроме нумерации, состояниям можно сопоставить последовательно увеличивающиеся значения параметра процесса: t₁ ˂ t₂ ˂ …˂ t_N (разности t_i+1 – t_i могут быть разными). По сути, это просто другой вариант нумерации.

Дискретный процесс можно описывать:

1. Таблицей (строчка таблицы – состояние);

2. Схемой (ячейка схемы – состояние);

3. Списком (перечень списка – состояние).

Напомним, что на графике числовой (и только числовой) дискретный процесс изображается изолированными точками.

Описание дискретных процессов. Обозначим значения характеристики S на состояниях процесса через S₁, S₂,…, S_N. Важнейший вопрос для дискретных процессов – правила перехода F_i от состояния S_i к состоянию S_i+1.

Эти правила могут быть едиными для любого i = 1, 2, … N–1, но могут меняться от перехода к переходу. Наконец, они просто могут отсутствовать – состояния описываются независимо друг от друга и потом их объединение понимается как процесс. Такой подход, в частности, может применяться при эксперименте, в котором один эксперимент дает одно состояние. Получив S₁, S₂,…, S_N можно потом искать правило перехода от S_i к S_i+1.

Состояние S_i в общем случае – вектор размерности K: S _i¹ , S _i² , … ,S _i^K .

Примеры единых правил для перехода в процессе (S_i – число):

1. S_i+1 = (S_i)² + 1/S_i , S₁ = 1 , отметим, что задание S₁ необходимо, чтобы начать применение формулы, это общее правило;

2. S_i+1 = S_i + ∆•f(x₀+i•∆), здесь должны быть даны функция f(x), начальная точка x₀, величина ∆ (шаг) и номер последнего состояния N (это вычисление интеграла накоплением суммы).

3. Сумма на вкладе: S_k+1 = S_k + S_k•0.8% , S_о = началь.сумма , k- месяц (без процентов: S_k+1 = S_k + S_k•0.008). Для месяца со снятием суммы P_k: S_k+1 = S_k + S_k•0.8% - P_k .

Примеры изменения правил перехода:

1. При N = 2, … , 5 состояния определяются правилом S_i+1 = S_i + ∆ , S₁ = 0 (линейный рост характеристики S), а при N ˃ 5 правилом S_i+1 = S_i + ∆² (квадратичный рост, что-то после N= 5 убыстрилось).

2. В игре: нечётный шаг выбирает первый игрок, а чётный шаг – второй игрок.

Процессы могут включать в себя логические элементы. В них происходит проверка некоторых условий, и в зависимости от их выполнения, процесс пойдёт по одному или по иному пути.

Рассмотрим включение в дискретный процесс логических переходов.

При переходе от k -того состояния к (k+1)-му проверяется некоторый комплекс условий D. Он может состоять в простой проверке типа x> 0, но может включать и сложные и даже многоступенчатые условия на систему функций и другие объекты. При выполнении условий происходит переключение на другую ветвь (a или b):

S^a_k+1 . . .

да

ветвь a

S^b_k+1 . . .

. . . S_k

нет

ветвь b

В этом случае также говорят, что процесс ветвится, а саму точку ветвления также называют точкой принятия решения.

Пример дискретного процесса с ветвлением - компьютерная программа

Переход также может быть тренарным (один из трех) и полинарным:

A A

A¹ ,A² , … , A^k

A¹ A² A³ .

Существует упрощённая трактовка логического перехода:

«Если так, то так» .

Для комплекса условий вводятся определения: жесткий переход – когда выполнены все приведенные условия. Мягкий переход – выполнено хотя бы одного (или несколько) из условий.