45

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………………....… 3

РОЗДІЛ 1 МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ПОБУДОВИ КУРСУ ПРОЕКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ, ОРІЄНТОВАНОГО НА ПОТРЕБИ ЗАГАЛЬНООСВІТНЬОЇ ШКОЛИ

1.1. Зміст, завдання та мета курсу проективної геометрії у підготовці майбутніх вчителів математики……………………………………………………………..… 5

1.2. Форми, методи та засоби лекційного навчання проективної геометрії……12

1.3. Формування загальних понять та доведення основних тверджень з курсу проективної геометрії………………………………………………………………17

1.4. Формування вмінь розв’язувати задачі з проективної геометрії………...…24

1.5. Можливості використання елементів проективної геометрії в школі……..33

РОЗДІЛ 2 ОСНОВНІ ЛІНІЇ КУРСУ ПРОЕКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ ДЛЯ СТУДЕНТІВ ВИЩИХ ПЕДАГОГІЧНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ

2.1. Означення елементів і основних форм першого порядку. Нескінченно віддалені елементи…………………………………………………………………43

2.2. Двоїстість в геометрії…………………………………………………………52

2.3. Гармонійні точки. Пучки прямих та площин

2.4. Проективна відповідність. Проективні форми.

2.5. Інволюція

2.6. Форми другого порядку

2.7. Приклади і задачі

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТКИ

ВСТУП

Курс проективної геометрії в педагогічних університетах існує вже протягом багатьох років. І це не випадково, оскільки проективна геометрія має великі можливості для розвитку пізнавальної діяльності майбутніх вчителів математики через розвиток таких прийомів розумової діяльності, як аналіз, синтез, абстрагування, порівняння, узагальнення, аналогія тощо. Проективну геометрію в свій час називали найкрасивішою галуззю математики. В її основу було покладено низку загальних геометричних положень. З урахуванням спеціалізації та індивідуального розвитку студентів, відповідно до їх здібностей та можливостей, зміст курсу «Проективна геометрія», крім теоретичного матеріалу, що забезпечить міцне засвоєння базових знань повинен містити і мотиваційний матеріал (систему проблемних задач та запитань, а також історичні матеріали до вивчення відповідних тем курсу).

Вивчення курсу «Проективна геометрія» відіграє важливу роль у формуванні в майбутнього вчителя математики більш широкого погляду на геометрію, глибшого розуміння зв’язків між різними геометричними системами, природи геометричних властивостей, можливостей різних методів їх вивчення.

Вивчення властивостей геометричних фігур в проективній геометрії розширюють уявлення студентів про сучасну картину Всесвіту, підвищують компетентність майбутніх вчителів математики та стимулюють їх власний пошук нових математичних та геометричних ідей і теорій.

Саме тому, тема нашої дипломної роботи є актуальною.

Метою роботи є:

1. теоретично обґрунтувати методичну систему (мету, зміст, організаційні форми, методи і засоби) навчання проективної геометрії студентів фізико-математичних спеціальностей;

2. розробити змістово-методичне наповнення курсу «Проективна геометрія», спираючись на його основні розділи;

Об'єкт дослідження – процес навчання вищої геометрії студентів педагогічних університетів.

Предмет дослідження – методична система навчання проективної геометрії майбутніх вчителів математики.

Відповідно до мети дослідження були поставлені такі завдання:

1. Проаналізувати навчально-методичну літературу з основ проективної геометрії та методики її навчання.

2. Дослідити переваги та недоліки різних підходів до читання курсу проективної геометрії та обґрунтувати оптимальний вибір змісту курсу .

3. Визначити доцільні організаційні форми, методи та засоби навчання теоретичних основ курсу та формування вмінь розв’язувати задачі;

4. Обґрунтувати можливості застосування різноманітних наочних засобів навчання під час лекційних занять та самостійної роботи студентів.

Наукова новизна дослідження полягає в тому, що:

- розроблена методична система навчання проективної геометрії (мета, зміст, організаційні форми, методи та засоби навчання) орієнтована саме на потреби загальноосвітньої школи;

Структура роботи. Робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку.

Розділ 1

МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ПОБУДОВИ КУРСУ ПРОЕКТИВНОЇ ГЕОМЕТРІЇ, ОРІЄНТОВАНОГО НА ПОТРЕБИ ЗАГАЛЬНООСВІТНЬОЇ ШКОЛИ

1.1. Зміст, завдання та мета курсу проективної геометрії у підготовці майбутніх вчителів математики

Студент, майбутній вчитель, повинен добре засвоїти курс афінної і проективної геометрії, щоб мати змогу розглянути загальне принципове питання про характеристику окремих галузей геометрії групами відповідних перетворень.

Знання з цього курсу допоможуть правильно будувати рисунки при вивченні стереометрії і тим самим сприятимуть розвитку просторових уявлень учня.

Мета курсу “Проективна геометрія” – забезпечити студентів відповідним понятійним та математичним апаратом, необхідним для значно глибшого і чіткішого розуміння багатьох геометричних співвідношень і побудов; сформувати в них знання, вміння і навички, необхідні для розв’язування геометричних задач методами проективної геометрії.

Завдання курсу:

1. Розкрити місце і значення знань з проективної геометрії в загальній і професійній освіті людини, з’ясувати взаємозв’язки курсу проективної геометрії зі школою.

2. Показати практичну значущість методів проективної геометрії, їх застосовність до розв’язання найрізноманітніших геометричних задач.

3. Розвинути просторову уяву та навчити студентів використовувати це при побудові плоских та просторових фігур.

Необхідність вивчення курсу проективної геометрії майбутніми вчителями математики.

1. Побудувати зображення предмета означає знайти його центральну або паралельну проекцію на деяку площину (площину зображень). Правила побудови та використання зображень дають графічні науки: нарисна геометрія та креслення (які не передбачені в навчальному плані підготовки майбутніх вчителів математики). В основі ж цих правил лежить математична теорія геометричних перетворень, особливо афінних та проективних. Теорія проективних перетворень вказує способи, які роблять метрично визначеними зображення, що виконані в центральній проекції. Вивчення афінних та проективних перетворень дає методи розв´язування метричних та позиційних задач за допомогою зображень, виконаних в паралельній та центральній проекції, не дивлячись на всі спотворення, що відбуваються при проектуванні. 

2. Проективна геометрія доповнює евклідову геометрію, надаючи красиві та легкі розв’язання для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих (шкільні геометричні задачі на побудову, які можна розв´язати за допомогою однієї лінійки), зокрема задачі з недосяжними елементами; має широке застосування до розв´язування позиційних та метричних задач шкільної геометрії, зображення фігур на площині, побудови перерізів; особливо проста i витончена проективна теорія конічних пepepiзiв.

3. Проективна геометрія має велике практичне значення в математиці, оптиці, архітектурі, живописі, аерофотозніманню та ін. Уміння зображати предмети оточуючого нас світу необхідне працівникам різних професій (художникам, інженерам, математикам, фізикам, фотографам, геологам, географам та ін.); елементарні навички з цієї галузі необхідні в шкільній навчальній роботі на уроках геометрії, фізики тощо. 

В умовах розбудови системи освіти, виходу вітчизняної науки на світовий рівень, інтеграції в світову систему освіти, переходу до конкуренції будь-якої продукції, в тому числі і інтелектуальної, особливо актуальним стає забезпечення належного рівня математичної підготовки підростаючого покоління. Цим визначаються підвищені вимоги до підготовки вчителя математики, зокрема, до підготовки з фундаментальних дисциплін (математичного аналізу, алгебри, геометрії), що складають основу професійної культури вчителя, яка закладається під час навчання у педагогічному ВНЗ. Питанню професійної підготовки вчителя математики присвячено багато праць науковців та методистів, зокрема, проблемою фахової підготовки майбутніх вчителів математики займаються В. Г. Бевз , М. І. Жалдак , Г. О. Михалін , М. В. Працьовитий, О. В. Семеніхіна, О. І. Скафа, О. В. Співаковський, Ю. В. Триус, О. А. Чемерис, В. О. Швець та ін. Однак, питання професійної підготовки залишаються актуальними, оскільки зміни, що відбуваються у суспільстві висувають все вищі вимоги до підготовки сучасного вчителя математики.

Професійні знання, вміння та якості особистості, якими повинен володіти вчитель математики, задано переліком кваліфікаційних вимог. Серед них є: всебічне і глибоке знання вищої математики (математичного аналізу, геометрії, алгебри і теорії чисел); досконале володіння методикою викладання математики у різних типах середніх навчальних закладів; наявність високого рівня математичної й інформаційної культури.

Рівень геометричної підготовки студентів педагогічних університетів визначається базовими дисциплінами освітньої програми підготовки майбутнього вчителя математики, в яких геометрія, традиційно, представлена в більшості через аналітичні методи. В результаті чого у випускників формується недостатньо цілісне уявлення про побудову геометрії та її різноманітні методи. На даний час аналітичні методи дослідження і викладу матеріалу проникли майже у всі розділи сучасної геометрії, в зв’язку з чим в деяких педагогічних університетах часто уникають геометричні методи розв’язування завдань, зводячи частину геометрії до дослідження та вивчення формул, втрачаючи геометричну красу курсу вищої геометрії. 

Навчаючись в педагогічному вищому навчальному закладі, майбутній вчитель математики оволодіває аналітичним підходом навчання, вивчаючи аналітичну та диференціальну геометрію. В більшості педагогічних ВНЗ у процесі навчання проективної геометрії викладачі користуються вже відомим студентам аналітичним методом дослідження, тим самим втрачаючи можливість навчити їх синтетичним підходам навчання. 

Ознайомлення майбутніх учителів математики з науковими основами шкільної геометрії, із конструктивним підходом до викладання матеріалу, що складає основу шкільної геометричної освіти, доцільно реалізувати під час вивчення проективної геометрії.

Під час підготовки майбутніх вчителів математики вивчення курсу проективної геометрії відіграє важливу роль у формуванні більш ширшого погляду на геометрію (є одним із прикладів неевклідової геометрії), глибшого розуміння зв’язків між різними видами геометрії (зокрема, проективної геометрії з евклідовою та афінною), природи геометричних властивостей, можливостей різних підходів до їх вивчення, розкриває закони утворення зображення (питання перспективи). Збагачення геометричної культури студента відбувається у найтіснішому зв’язку з матеріалом шкільного курсу геометрії. Вони отримують конкретні знання, достатні для кваліфікованого викладання геометрії та проведення факультативних занять і курсів за вибором, зокрема під час вивчення питань, пов’язаних із зображенням фігур і геометричними побудовами на площині та в просторі, зокрема, побудовами, що виконуються за допомогою однієї лінійки.

Як вже говорилося вище, існують два підходи до вивчення проективної геометрії − аналітичний і конструктивний. При аналітичному підході виводяться рівняння всіх геометричних образів в деякій наперед заданій проективній системі координат. Проективні властивості цих образів доводяться шляхом дослідження їх рівнянь. Великою перевагою такого підходу є те, що студенти можуть за аналогією використовувати для цього координатний метод, який вивчається раніше в курсі аналітичної геометрії. Лише в поєднанні побудов геометричних образів та вивченні властивостей їх конфігурацій за допомогою апарату алгебри можна досягти бажаного результату. Однак, аналітичний підхід не вирішує проблему формування у студентів мислення образами проективної геометрії, що є головним завданням вивчення будь-якої з неевклідових геометрій.

Для вирішення цієї проблеми більш доцільним є конструктивний підхід. При конструктивному підході перевага надається побудові геометричних образів, алгоритму чи правилу-орієнтиру такої побудови. Він забезпечує наочність, формування просторової уяви та образного мислення студентів. Але в даному випадку виникають труднощі, зумовлені великою кількістю часто досить громіздких побудов, що вимагають значної витрати навчального часу.

На нашу думку підвищення ефективності начального процесу з цієї дисципліни доцільно поєднувати обидва підходи. Таке поєднання та взаємодія цих двох підходів допоможе під час розв’язування різних за своїм змістом задач, зокрема задач на побудову та доведення з використанням теореми Дезарга, гармонічних властивостей повного чотиривершинника, проективних та перспективних відповідностей, тереми Паскаля та теореми Бріаншона, полярних відповідностей, властивостей проективних перетворень.

Проективна геометрія, як і евклідова, будується аксіоматично. Однак в проективній геометрії, на відміну від евклідової, є не лише власні, а й невласні або нескінченно віддалені елементи: точки, прямі, площини. Розуміння невласних елементів краще досягається за допомогою побудови відповідних моделей проективних прямої, площини та простору.

На перших лекціях необхідно роз’яснити загальне призначення проективної геометрії, як окремого модуля курсу, з’ясувати структуру цього модуля, як деякої цілісної системи. Слід звернути увагу на діалектичний характер модуля в цілому. Потрібно звернути увагу студентів на широке коло прикладних і практичних задач, які розв’язуються методами і засобами проективної геометрії.

Виклад кожного нового розділу доцільно починати з проведення аналогії між проективною геометрією (яка є першим прикладом неевклідової геометрії для студентів) і евклідовою геометрією. Це слугує коротким введенням в тему, встановлює логічний зв’язок нового матеріалу з попереднім, виясняє теоретичне та практичне значення вивчення цієї теми, показує її місце і значення у загальній системі знань, що відносяться до даної галузі науки, окреслює основне коло питань для вивчення.

Нові поняття слід вводити на моделях побудованих в образах евклідової геометрії. Вважається, що моделлю точки на проективній площині є евклідова пряма, проективна пряма інтерпретується як розширена евклідова пряма, тобто евклідова пряма доповнена невласною або нескінченно віддаленою точкою, або як пучок евклідових прямих, проективна площина інтерпретується як розширена евклідова площина, тобто евклідова площина доповнена невласною або нескінченно віддаленою прямою, або в’язка прямих і площин.

Особливу увагу слід звернути на введення та усвідомлення студентами невласних або нескінченно віддалених елементів. Так, наприклад, невласна точка задається за допомогою власної прямої або пучка паралельних прямих, тобто паралельні прямі проходять через одну і ту ж невласну точку; різні невласні точки задаються за допомогою різних власних прямих, тобто прямих, що перетинаються; невласна пряма задається за допомогою власної площини або в’язки паралельних площин, тобто паралельні площини перетинаються по нескінченно віддаленій прямій. Слід також зазначити, що в проективній геометрії власні і невласні елементи є рівноправними. Це означає, що вони можуть переходити одні в одні.

При вивченні проективної геометрії студенти стикаються з труднощами логічного характеру, які походять з особливостей її понять і методів. Так з однієї сторони точка, проективна пряма і проективна площина є основними поняттями проективної геометрії, відношення інцидентності або належності або сполучення, порядку, неперервності між якими описуються системою аксіом проективної геометрії. Досвід показує, що поняття проективної прямої, проективної площини мають формуватись спочатку на основі наочно- інтуїтивного розуміння з наступним введенням формально-логічних означень цих понять як проективних просторів відповідної розмірності.

Курс проективної геометрії завершується вивченням проективних перетворень. Розглядаються наступні проективні перетворення: колінеарні перетворення або колінеації, гомології, інволютивні перетворення або інволюції, їх види, властивості, аналітичний запис та застосування. Розв’язуються задачі на застосування проективних перетворень в курсі загальноосвітньої школи. Студенти усвідомлюють той факт, що проективна геометрія є наукою, яка вивчає інваріанти групи проективних перетворень, або іншими словами можна сказати, що це галузь геометрії, в якій вивчаються властивості фігур відносно проективних перетворень, і як будь-яка інша наука має свою власну внутрішню логіку [4].

Підходячи до навчання проективної геометрії з теоретико-групового погляду, слід відзначити, що оскільки група проективних перетворень включає в себе групу афінних перетворень, яка в свою чергу містить групу рухів, то проективна геометрія є найбільш широкою, включаючи в себе афінну і евклідову геометрію, а при деякій спеціалізації й неевклідові геометрії Лобачевського та Рімана. Завдяки засвоєнню знань з проективної геометрії полегшується процес сприйняття й навчання неевклідових геометрій.

Проективна геометрія - це перша неевклідова геометрія, яку вивчають студенти в курсі геометрії у вищих педагогічних навчальних закладах, тому вона є найбільш зручним вихідним пунктом для пояснення сутності не лише геометрії Лобачевського, а й інших геометричних систем [14]. Саме за допомогою методів проективної геометрії можна описати дев’ять відомих науці неевклідових геометрій площини і показати можливість їх використання .

Таким чином, при навчанні проективної геометрії доцільно використовувати порівняльний аналіз фактів евклідової геометрії та тверджень проективної геометрії, різні моделі, побудовані в образах евклідової геометрії, виявляти міжпредметні зв’язки проективної геометрії з аналітичною геометрією, алгеброю, фізикою, астрономією, а згодом і з іншими неевклідовими геометріями, та досліджувати застосування фактів проективної геометрії в різних галузях науки, техніки, фізики, будівництві та ін.

Отже основною особливістю цього курсу, яка відрізняє його від інших, є те, що ідеї та методи вищої (аффінної і проективної) геометрії тут подаються не відриваючись від геометрії злементарной.