2. Фильтр и динамическая погрешность

Если измеряемая величина в СА непостоянна во времени, то появляется динамическая погрешность ее измерения. Нормированию таких погрешностей уделено недостаточно внимания как в нормативной, так и в эксплуатационной документации.

Оценка динамической погрешности является сравнительно сложным процессом, поскольку зависит не только от динамической модели ИК, но и от формы измеряемого сигнала.

Основными источниками динамической погрешности являются естественная инерционность физических процессов, протекающих в датчиках, процессы заряда входной емкости СИ, инерционность фильтров, использованных для устранения алиасного эффекта и подавления помех в ИК.

Для количественного описания динамических свойств ИК используют линейные динамические модели в виде дифференциальных уравнений, операторных ПФ, импульсных переходных характеристик или реакций на единичный скачок, АЧХ и АФХ (ГОСТ 8.256). Описание этих моделей может быть указано в эксплуатационной документации на СИ.

В некоторых случаях (например, когда уравнения динамической модели хорошо известны), могут быть заданы только коэф-ты уравнений, постоянные времени, время реакции (время установления), коэф-т демпфирования, полоса пропускания по уровню 0,707 и др.

Для модулей аналогового ввода может быть также задана погрешность положения отсчета измеряемого сигнала на оси времени.

Типовая динамическая модель ИК включает модели датчика W_д(s) и модуля ввода аналоговых сигналов W(s) (рис. 4.9). ПФ W(s) обычно является произведением ПФ антиалиасного фильтра (стоящего до АЦП) и цифрового режекторного фильтра после АЦП.

При проектировании СА динамические характеристики ее звеньев можно выбрать так, что инерционность всего ИК будет определяться инерционностью самого медленного звена. Это существенно упрощает процесс оценки величины динамической погрешности (например, при измерении температуры самым инерционным звеном является датчик (инерционность термопар характеризуется постоянной времени (10-ки секунд) и намного превышает инерционность модуля ввода (доли секунды)).

Рис.4.9. Динамическая модель измерительного канала

Многоканальные СИ бывают 2-х типов:

• с коммутацией источников сигнала,

• параллельно работающими каналами.

В первом случае на входе модуля ввода используется аналоговый коммутатор (рис. 4.9), во втором - многоканальность достигается их идентичностью и одновременно работающими АЦП.

В системе с параллельными каналами можно считать, что сигнал на входе СИ действует неограниченно долго. При коммутации каналов сигнал объекта измерений х(t) действует, пока ключ коммутатора замкнут. Описание динамической погрешности этих 2-х типов систем имеет свои особенности.

Погрешности при измерении синусоидального сигнала. Если линейный ИК не содержит коммутатора, а входной (измеряемый) сигнал: x(t) = Asin(ωt) (рис. 4.10), то погрешность ИК состоит из 2-х компонент: погрешности амплитуды и фазы :

(4.38)

Наиболее простые соотношения для оценки указанных погрешностей получаются для случая, когда динамику измерительного канала можно представить моделью 1-го порядка (фильтром 1-го порядка):

Рис.4.10. Синусоидальные сигналы на входе x(t) и выходе y(t) измерительного канала

(4.39)

где ω_0.7 - граничная частота по уровню половинной мощности или 0.707 по напряжению. Для этой модели АЧХ и ФЧХ имеют вид:

Поскольку погрешность СИ в СА, как правило, не превышает 1 %, в приведенных соотношениях можно считать ω / ω_0.7 << 1, что позволяет разложить эти нелинейные функции в ряд Тейлора и ограничиться первыми 2-мя составляющими:

(4.40)

Например, если модуль ввода имеет граничную частоту w_0,7 = 5Гц, то для того чтобы динамическая погрешность не превышала 0.05 %, частота входного сигнала должна составлять не более (0.05% * 2)^0.5 = 0.032 % от граничной частоты w_0,7 т.е. не более 0.16 Гц.

Оценки (4.40) относятся только к погрешности амплитуды и фазы синусоидального сигнала, но не к погрешности отдельных его отсчетов. Наибольшая погрешность измерения входного сигнала как функции времени проявится при ωt = 0, π, 2π,.... Ее величину можно оценить следующим образом:

(4.41)

где Т = 2 π / w_0,7 - постоянная времени фильтра, τ = 2π/ω - период измеряемого сигнала. Относительная погрешность составит:

(4.42)

Таким образом, для получения динамической погрешности 0.1 % при измерении отсчетов синусоидального сигнала в моменты времени ωt = 0, π, 2π,.... частота входного сигнала должна быть в 1000 раз ниже граничной частоты фильтра. Погрешность амплитуды (измеренная в моменты времени ωt = π/2, 3π/2,...) уменьшается в зависимости от частоты по квадратичному закону (4.40), в то время как погрешность в моменты времени ωt = 0, π, 2π,....- только линейно (4.42).

Погрешности измерения при входном сигнале «единичный скачок». Если входной сигнал изменяется скачком, то для безкоммутаторного ИК 1-го порядка (4.39), реакцию на скачок можно получить с помощью преобразования Лапласа: заменив в (4.39) jω комплексной частотой р и умноживзначение на изображение единичного скачка 1/р (по Лапласу) и выполнив переход к оригиналу с помощью обратного преобразования Лапласа).

Реакция на скачок сигнала на входе ИК – сигнал на его выходе:

(4.43)

где τ = 1/ w_0,7, у₀ - значение y(t) при t = ∞.

Поскольку точное значение единичного скачка у(∞) = у₀ = 1, то погрешность измерений Δу(t) = у₀ - y(t) с течением времени будет уменьшаться:

(4.44)

Например, для получения относительной динамической погрешности 1 % измерение нужно делать не раньше чем через t = 4.6τ после подачи измеряемого сигнала. Для получения погрешности 0,05 % задержка перед измерением должна быть не менее 7.6τ.

Измерение сигнала произвольной формы. В случае, когда измеряемый сигнал имеет произвольную форму х(t), АЦП коммутируется, то можно показать [1], что:

для фильтра 1-го порядка погрешность:

(4.45)

Рис. 4.11. Сигнал после коммутатора(х(t)) и на выходе модуля ввода (y(t))

где t₀ - момент замыкания ключа входного коммутатора; t₁ - момент появления сигнала на выходе модуля ввода, х₀ и х₁ значение сигнала при t₀ и t₁ (рис.4.11)

Видно, что, при достаточно большом t (→∞) абсолютная динамическая погрешность не приближается к нулю, а остается постоянной, равной Δy(∞) = (х₁ – х₀)/(t₁ – t₀)T. При малых t на начальном участке переходного процесса погрешность экспоненциально уменьшается с течением времени.

Приведенная погрешность:

(4.46)

г

Рис.4.12. Зависимость модуля динамической погрешности от времени при х₀/х_мах = 0,5 и Т = 0.1с для модуля ввода с фильтром 1-го порядка

де х_тах - верхняя граница диапазона измерений. Следовательно:

(4.47)

и физический смысл параметра τ: время, за которое входной сигнал проходит интервал от 0 до x_max при условии, что сохраняет линейность.

Графики зависимости модуля динамической погрешности от времени (4.46) при x₀/x_maх = 0.5, показаны на рис.4.12. Например, если постоянная времени фильтра 1-го порядка Т равна 1 с, то для того чтобы динамическая погрешность не превышала 0,1 %, отношение Т/ τ должно быть не более 0,001 (рис. 4.12), откуда τ > 1000Т, т.е. скорость нарастания входного сигнала должна быть такой, чтобы интервал от нарастания x(t) от 0 до x_maх был пройден за время не менее 1000Т = 1000с.

Аналогичное соотношение можно получить для фильтра 2-го порядка с передаточной функцией

Его приведенная погрешность составит:

(4.48)

При t →∞, как и в системе 1-го порядка, погрешность стремится к постоянной величине -(T₁ + Т₂)/τ.

Можно показать, что для фильтра N-гo порядка:

погрешность стремится к величине при t →∞.

Таким образом, для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис.4.9) динамическая погрешность измерений не зависит от формы измеряемого сигнала и ее значение можно оценить по графику (рис.4.12) или по соотношению (4.46).

Sinc-фильтр в измерительных модулях ввода. В СА обычно используют режекторные фильтры для ослабления помехи с частотой 50 Гц, проникающей из сети питания. Он, как правило, входит в состав микросхемы АЦП, поэтому имеет достаточно простую реализацию. Наиболее популярным для этих целей оказался sinc-фильтр (sinc, sinc², sinc³, sinc⁴).

Структура цифрового sinc-фильтра представлена на рис.4.13. Он состоит из 2-х каскадов: до ключа R и после него.

Рис.4.13. Структура sinc-фильтра

На вход фильтра поступают отсчеты сигнала х(k) с частотой дискретизации f_д. Блок z^-1 выполняет задержку на один такт отсчетов, поступающих на его вход. Блок z^-M выполняет задержку на М = 1 или 2 такта. Ключ R пропускает только каждый R-й отсчет, поэтому частота следования отсчетов после него и на выходе фильтра составляет f_д/R, т.е. такой фильтр выполняет также функцию прореживания (децимации) отсчетов.

Первый каскад фильтра выполняет суммирование входных отсчетов, 2-ой выполняет функцию вычитания из поступившей на его вход суммы предыдущей суммы отсчетов (суммы, полученной на предыдущем такте f_д/R), т.е. выбирает суммы из R слагаемых. Таким образом, фильтр в целом выполняет операцию нахождения среднего арифметического в окне шириной R отсчетов; точнее, как будет показано ниже, в окне шириной RM.

По рис.4.13 ПФ одного звена с блоками задержки z^-1 и z^-M:

(4.49)

Произведение RM - следствие прореживания отсчетов ключом R, поскольку задержка отсчетов относительно k выполняется на RM тактов.

Поскольку в фильтре использовано N блоков до ключа и N блоков после, ПФ всего фильтра являетмя произведением H_I(z)H_C(z) в степени N:

(4.50)

В знаменателе содержится нормирующий множитель RМ, чтобы коэф-т передачи фильтра на нулевой частоте был равен единице;

(4.51)

Принцип действия фильтра во временной области ( для простоты N = 1 (фильтр 1-го порядка), т.е. с одним звеном до ключа и одним после (рис.4.13)). Звено с элементом задержки z^-1 выполняет функцию интегрирования, т.е. суммирования в дискретной области. Сигнал на его выходе равен . Ключ R замыкается через R тактов и пропускает на свой выход сумму где m - номер прореженного отсчета (после ключа R). Звено фильтра с элементом задержки z^-M при М = 1 выполняет вычитание из текущей суммы отсчетов предыдущей суммы, т.е. пропускает на свой выход сумму отсчетов в окне шириной R. Таким образом, sinc-фильтр 1-го порядка выполняет усреднение (вычисляет среднее арифметическое) входных отсчетов во временном окне шириной R, т.е. сумму

Поэтому sinc-фильтр можно представить как окно, движущееся вдоль оси времени и усредняющее попадающие в него R отсчетов.

При ширине окна, равном периоду помехи синусоидальной формы (например, помехи с частотой сети 50 Гц), среднее значение за период равно нулю. Этим объясняется подавление (режекция) sinc-фильтром помехи с частотой 50 Гц. Практически коэф-т ослабления определяется частотой отсчетов, разрядностью АЦП, погрешностью и стабильностью частоты тактового генератора фильтра. Например, ослабление sinc-фильтром помехи с частотой 50 Гц в модулях NL [НИЛ АП] составляет -120 дБ.

При постоянной частоте отсчетов f_д sinc-фильтр позволяет изменять частоту режекции с помощью коэф-та прореживания R. На рис.4.14 представлена АЧХ sinc-фильтров 1-го, 2-го и 3-го порядка. Зависимость динамической погрешности измерения амплитуды синусоидального сигнала ΔА/А от частоты для 3-х sinc-фильтров с параметрами Т = 0.02, RM = 656 показана на рис.4.15.

Рис. 4.14. АЧХ 3-х sinc-фильтров

Рис. 4.15. Динамическая погрешность измерения амплитуды синусоидального сигнала для трех sinc-фильтров при Т = 0.02, RM = 656

Рис.4.16. Реакция sinc-фильтра на линейно нарастающий сигнал при τ = 0.2. Т = 0.02, х₀ = 0.5, RM = 656

На рис. 4.16 показана реакция sinc-фильтров на линейно нарастающий сигнал (рис. 4.11). Видно, что линейно нарастающий сигнал проходит через фильтр с задержкой; возникающая при этом погрешность при t > 60мс остается постоянной во времени, равной для sinc-фильтра 1-го порядка 0.5 Т/τ, для фильтра 2-го порядка - Т/τ, для фильтра 3-го порядка - 1,5 Т/τ ,где Т = 1/(50 Гц) = 20 мс - ширина временного окна фильтра, настроенного на частоту режекции 50 Гц.

Например, для получения динамической погрешности, равной 0.05 % для sinc ³-фильтра входной сигнал должен изменяться со скоростью не более чем 100 % за 60с, или 1.67 % за 1с. Здесь проценты берутся от верхней границы динамического диапазона х_мах (4.48).