Контрольные вопросы

1. Какие виды напряженных состояний Вы знаете?

2. Какие площадки называют главными?

3. Каково назначение теорий прочности?

4. В чем смысл III-й теории прочности?

5. Чем отличается энергетическая теория прочности от теории прочности Мора?

6. Сложное сопротивление

Очень часто в поперечных сечениях стержней балок возникает сразу несколько внутренних силовых факторов. Такие случаи называются сложным сопротивлением. Расчеты на прочность и жесткость при сложном сопротивлении основываются обычно на принципе независимости действия сил.

Рассмотрим основные виды сложного сопротивления.

Косой изгиб. Изгиб при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции.

Для решения таких задач удобно разложить изгибающий момент в сечении на два момента, действующих в главных плоскостях.

Р ассмотрим консольную балку, нагруженную силой F, действующей перпендикулярно ее оси и составляющей угол  с главной плоскостью ХУ (рис.6.1.)

Рис. 6.1. Косой изгиб стержня

Изгибающие моменты

(6.1)

,

где F_Y и F_Z – вертикальная и горизонтальная составляющие силы F;

М – изгибающий момент в сечении.

Нормальное напряжение в некоторой точке А сечения с координатами у и z

(6.2)

Найдем положение нейтральной линии при косом изгибе, полагая , тогда из уравнения получим и уравнение нейтральной линии примет вид .

Это уравнение представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Максимальные напряжения будут действовать в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 6.1,б).

(6.3)

Суммарный прогиб

, (6.4)

где f_Y, f_Z – прогибы в направлениях главных осей.

Изгиб с растяжением или сжатием. В общем случае на стержень (балку) действуют, как продольные так и поперечные нагрузки.

Рассмотрим брус постоянного поперечного сечения нагруженный силой Р, приложенной к центру тяжести сечения (рис. 6.2).

Разложим силу Р на составляющие Р_X, Р_Y, Р_Z. В сечении будут действовать следующие силовые факторы (без учета знаков):

Применяя принцип независимости действия сил, запишем соотношение для определения напряжений в произвольной точке (6.5)

где F – площадь поперечного сечения.

Отсюда можно определить наибольшее напряжение в сечении

(6.6)

где W_Y и W_Z – моменты сопротивления сечения стержня при изгибе.

Условие прочности . (6.7)

Такие деформации можно встретить у крюков, винтов слесарных тисков и т.д.

Внецентренное растяжение (сжатие). При таком нагружении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, а смещена относительно оси Х (рис.6.3).

Такое нагружение подобно изгибу с растяжением. В поперечных сечениях будут действовать следующие силовые факторы:

. (6.8)

Напряжение в поперечном сечении .

Изгиб с кручением. Существует большое количество элементов конструкций (валы и т.п.), которые работают в условиях кручения и изгиба.

При расчете валов учитываются только крутящий и изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов

, (6.9)

где , .

W – момент сопротивления сечения изгибу относительно оси у,

W_Р – полярный момент сопротивления.

По третьей теории прочности

(6.10)

Условие прочности для круглых валов

(6.11)

По энергетической теории прочности

(6.12)

Условие прочности

(6.13)

П ример 9. Определить диаметр болтового соединения (рис. 6.4), если F₀=2500H; []=160 н/мм², l=0,5d.

Решение.

Сила затяжки вызывает в болте с эксцентричной головкой изгибающий момент . Найдем

,

где N=F₀, F=d²/4, W_Y=d³/32.

.

Из условия прочности

получим учитывая, что l=0,5d.

.

Пример 10. Определить диаметр вала зубчатой передачи, если из силового расчета известно что при вращающем моменте М_ВР=400нм, приложенном в точке А, сила в зацеплении F=150н. Допускаемое напряжение для материала вала []=25МПа, а=200мм. (Рис. 6.5).

Решение.

Строим эпюры вращающих и изгибающих моментов.

Н аибольший изгибающий момент в сечении

Рис. 6.5. Схема решения

.

Наибольший крутящий момент

Т=М_вр=40010³ (нмм)

Применим энергетическую теорию прочности

.

Найдем осевой момент сопротивления вала в опасном сечении

.

Учитывая, что для круглого вала W_Y=0,1d³, получаем диаметр вала

.

Округляя до ближайшего целого можно принять d=52мм.