Тема 7: Нелинейное программирование Задание 1
Используя метод множителей Лагранжа, найти максимальное значение следующих функций:
1)
при ограничении
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
2)
при ограничении
.
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
3)
при ограничении
.
Решение
Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Ответ:
4)
при ограничении
.
Решение.
1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:
Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему
Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:
2) Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Сравним результаты 1) и 2)
Ответ:
5) При ограничении .
1) Ищем стационарные точки для безусловного экстремума. Для этого продифференцируем Z по ее переменным:
Приравниваем полученные выражения к нулю и решаем систему
Находим значения функции Z в точках, удовлетворяющих ограничениям:
2) Составим функцию Лагранжа:
Продифференцируем ее по переменным
Приравнивая полученные выражения нулю, получим следующую систему уравнений:
Решим полученную систему:
Сравним результаты 1) и 2)
Ответ:
Задание 2
В
области решений системы неравенств
2x+5y≤30,
2x+y≤14,
x≥0,
y≥0
определить глобальные экстремумы
функций: а)
;
б) 
.
Решение
а) Построим область допустимых решений.
1: |
A |
B |
|
2: |
A |
B |
x |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ:
б) Область допустимых решений такая же, что и в а).
Построим линию уровня:
Линия - _______________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Получим систему и решим ее:
Ответ: