Державний вищий навчальний заклад

«Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника»

Кафедра математичного і функціонального аналізу

Курсова робота

на тему

«Особливі прийоми обчислення невласних інтегралів»

Студента IV курсу, групи М-42

Напряму підготовки «Математика»

Яневича Івана Васильовича

Керівник: Копач М.І.

Національна шкала:____________

Університетська шкала:_______

Оцінка ECTS:____

м. Івано-Франківськ – 2016 рік

Зміст

Вступ

1. Деякі чудові інтеграли.

2. Обчислення невласних інтегралів за допомогою інтегральних сум.

3. Інтеграли Фруллани.

4. Інтеграли від раціональних функцій.

5. Приклади.

Висновки.

Список використаної літератури.

Вступ

Невласні інтеграли є узагальненням визначених інтегралів на випадок нескінчених проміжків інтегрування та необмежених функцій.

Дана курсова робота містить основні відомості як обчислювати невласні інтеграли за допомогою інтегральних сум, інтеграли Фруллани, інтеграли від раціональних функцій, та деякі чудові інтеграли.

1. Деякі чудові інтеграли.

Почнемо з обчислення деяких важливих інтегралів за допомогою штучних прийомів. 1 °. Інтеграл Ейлера (L. Euler):

В його існування ми вже переконалися. Обчислення інтеграла Ейлера засновано на використанні заміни змінної. Маємо, вважаючи

Підставляючи в останньому інтегралі привидем його до виду так що, звичайно, для визначення J отримуємо рівняння

До цього ж інтеграла, з точністю до знака, наводяться і власні інтеграли

2 °. Звернемося до вирахування інтеграла Ейлера-Пуассона :

зустрічається в теорії ймовірностей. З цією метою попередньо встановимо деякі нерівності.

Звичайними в диференціальному численні методами неважко встановити, що функція досягає свого найбільшого значення 1 при Отже, для буде

Вважаючи тут ми отримаємо

Звідки

Обмеживши в першому з цих нерівностей зміна х проміжком (0,1) (так що ) а в другому вважаючи x будь-яким, піднесемо всі ці вирази в ступінь з будь-яким натуральним показником це дає нам

Інтегруючи першу нерівністьв проміжку від 0 до 1, а другу - від 0 до +

Отримаємо

але

(Ми скористалися тут відомими виразами для

Таким чином, невідоме нам значення К може бути укладено між наступними двома виразами:

так що, зводячи в квадрат і перетворюючи, отримаємо

З формули Валліса :

легко побачити тепер, що обидва крайніх вирази при прямують до однієї і тієї ж границі отже,

3 °. Розглянемо інтеграл

Ми знаємо, що він сходиться . Уявімо інтеграл у вигляді суми ряду

Поклавши або і вдавшись, відповідно, до підстановки або матимемо:

і

Звідси

Так як ряд

в проміжку сходиться рівномірно, fбо мажорується збіжним рядом його можна інтегрувати почленно.

Це дає нам право написати вираз для I у вигляді:

Але вираз в квадратних дужках є розкладання на прості дроби функції. Таким чином, остаточно,

Наведений витончений висновок належить Лобачевському, який першим звернув увагу на нестрогість тих прийомів, за допомогою яких цей важливий інтеграл обчислювався раніше.