11.4. Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:

__ _ _

xy  x * y

r =  .

_x * _y (11.4.1)

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

n  xy  x y

r =  .

_________________________________

  n  x²  (x)²  *  n y²  ( y)² (11.4.2)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой

_xi

r = a_i  .

_y (11.4.3)

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: -1 r  1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При r = 0 связь отсутствует, при 0< r <1 связь прямая (с увеличением x увеличивается y), при -1< r <0 связь обратная (при увеличении x уменьшается y), при r = 1 связь функциональная (каждому значению x соответствует только одно значение y).

Пример. На основе выборочных данных оцените тесноту связи между прибылью y (млн руб.) и затратами на 1 руб. продукции x (коп.).

№ п/п	y	x	yx	y2	x2
1	221	96	21216	48841	9216
2	1070	77	82390	1144900	5929
3	1001	77	77077	1002000	5929
4	606	89	53934	367236	7921
5	779	82	63878	606841	6724
6	789	81	63909	622520	6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

Используя формулу 11.4.1:

__ _

_y² = y²  ( y )² = 632056,3  (744,3)² = 78029,3 ;

__ _

_x² = x²  ( x )² = 7046,67  (83,673)² = 46 ;

60400,67  744,33 * 83,67

r = ----------------------------------- =  0,98 .

_____________

 78029,3 * 46

Используя формулу 11.4.2:

6 * 362404  4466 * 502

r = --------------------------------------------------------------- =  0,98 .

_________________________________________

  6 * 42280  (502)²  *  6 * 3792338  (4466)² 

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

______

  ²

 =   .

  ² (11.4.4)

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

______ ____________

  ²  1  ²_ост

 =   =   ,

  ²   ² (11.4.5)

где  ² - дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть

рассчитанных по уравнению регрессии;

 ²- дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного

признака.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0    1), и анализ степени связи соответствует линейному коэффициенту корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

___________________________________

 r²yx₁  r²yx₂  2 r²yx₁ * r²yx₂ * r²x₁x₂

Ry/x₁x₂ =   .

1  r²x₁x₂

(11.4.6)

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние этих других факторов исключается.

В случае зависимости y от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

ryx₁  rx₁x₂*ryx₂

ryx₁ /x₂ =  ;

____________________

 (1  r²x₂y)* (1  r²x₁ x₂)

(11.4.7)

ryx₂  rx₁y*r x₁x₂

ryx₂ /x₁ =  .

____________________

 (1  r²x₁y)* (1  r²x₁ x₂)

(11.4.8)

В первом случае исключено влияние факторного признака x₂, а во втором – x₁.