10.3. Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора:

• собственно случайная и механическая выборка

t ² *  ²

n = ----------- повторный отбор;

² (10.3.1)

t ² *  ² * N

n = ---------------------- бесповторный отбор;

² * N + t ² *  ²

(10.3.2)

• типическая выборка ___

t ² *  _i²

n = ----------- повторный отбор;

² (10.3.3)

___

t ² *  _i² * N

n = ---------------------- бесповторный отбор;

___

² * N + t ² *  _i²

(10.3.4)

• серийная выборка

t ² * ²

n = ----------- повторный отбор;

²

(10.3.5)

t ² * ² * R

n = ---------------------- бесповторный отбор.

² * R + t ² * ²

(10.3.6)

Пример 5. В 100 туристических агенствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение.

t ² *  ² * N 1² * 225 * 100 22500

n = ---------------------- = ------------------------- = -----------  20 агенств.

² * N + t ² *  ² 3² * 100 + 1² * 225 1125

10.4. Малая выборка

В практике статистического исследования все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

 _

x - x

t = --------- ,

 _м.в. (10.4.1)



где  _м.в. = ---------- – мера случайных колебаний выборочной средней

 n - 1 в малой выборке.

Таблица 10.1. Распределение вероятности в малых выборках

в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки n:

n t	4	5	6	7	8	9	10	15	20	
1,0	0,608	0,626	0,636	0,644	0,650	0,654	0,656	0,666	0,670	0,683
1,5	0,770	0,792	0,806	0,816	0,832	0,828	0,832	0,846	0,850	0,865
2,0	0,860	0,884	0,908	0,908	0,914	0,920	0,924	0,936	0,940	0,954
2,5	0,933	0,946	0,955	0,959	0,963	0,966	0,968	0,975	0,978	0,988
3,0	0,942	0,960	0,970	0,970	0,980	0,938	0,984	0,992	0,992	0,997

Пример 6. Выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали время (в мин.): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9.

Решение. 

В среднем затраты составили x = 3,49 мин. Дисперсия _x² равна 0,713. Отсюда средняя ошибка малой выборки равна:

0,713

 _м.в. = ---------- = 0,28 мин.

 10 - 1

По таблице распределения вероятностей Стьюдента находим, что для коэффициента доверия t = 2 и объема малой выборки n = 10 вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средней лежит в пределах -2 _м.в. до +2 _м.в., то есть эта разность не превысит по абсолютной величине 0,56 мин. (2*0,28). Следовательно, средние затраты времени на выполнение производственной операции будут находиться в пределах от 2,93 до 4,05 мин.