7.3. Расчет дисперсии, ее свойства

Помимо основной формулы расчета дисперсии применяется упрощенный способ ее вычисления.

1 способ – среднее из квадратов минус квадрат среднего.

__ _²  x² * f  x * f

² = x² - x = -------------- - ( --------------- ) ² .

 f  f

(7.3.1)

2 способ -- способ моментов, основанный на свойствах дисперсии.

Свойства дисперсии:

• если каждое значение x уменьшить или увеличить на одно и то же число, то ² не меняется;

• если каждое значение x уменьшить или увеличить в i число раз, то ² уменьшится или увеличится в i² число раз.

x - A ( x - A )

 ( --------) ² * f  ---------- * f

i i

² =  ------------------------- - ( ---------------------- ) ²  * i² ;

 f  f

(7.3.2)

² =  m₂ - m₁ ²  * i² ,

x - A x - A

 ( ------- ) * f  ( --------) ² * f

i i

где m₁ = ------------------------ ; m₂ = ----------------------- ;

 f  f

m₁ - момент I порядка;

m₂ - момент II порядка.

3 способ -- меры вариации для сгруппированных данных.

Для сгруппированных данных можно выделить три дисперсии:

• общая ² ;

• межгрупповая ² ;

• внутригрупповая ²_i .

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов.

__

 ( x_i - x ) ² * f_i

² = ------------------------ . (7.3.4)

 f_i

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри каждой группы.

__

 ( x_i - x_i ) ² * f_i

²_i = ------------------------ .

 f_i. (7.3.5)

__

Средняя дисперсия из внутригрупповых ²_i рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

___  ²_i * f_i

²_i = -------------------- . (7.3.6)

 f_i

Этот показатель характеризует влияние на результативный признак всех прочих факторов за исключением признака, положенного в основу группировки.

Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию, обусловленную признаком, положенным в основу группировки.

__ __

 ( x_i - x_о ) ² * f_i

² = ------------------------ ,

 f_i (7.3.7)

_

где x_i – средняя по отдельным группам;

_

x_о – средняя общая по всей совокупности.

Правило сложения дисперсий гласит: ___

² = ² + ²_i . (7.3.8)

С помощью закона сложения дисперсий можно оценить удельное значение фактора, лежащего в основе группировки, во всей совокупности факторов, воздействующих на результативный признак.

Осуществляется это с помощью коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Коэффициент детерминации рассчитывается как отношение

²

D = ------ .

² (7.3.9)

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

___

 =  D , (7.3.10)

где  = до 0,3 -- слабая связь;

 = от 0,3 до 0,7 -- средняя степень связи;

 = свыше 0,7 -- высокая степень связи.