20. Векторная диаграмма для изображения колебательного движения.

20. Сложение гармонических колебаний одного направления и одной частоты.

П усть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

Отложим из точки Овектор  под углом φ₁ к опорной линии и вектор  под углом φ₂. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени ( ). Такие колебания называют когерентными.

Нам известно, что суммарная проекция вектора  равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и , и . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω: .

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:

Результирующую амплитуду найдем по формуле (2.2.2)Начальная фаза определяется из соотношения (2.2.3)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (2.2.2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фазφ2-φ1. Возможные значения А лежат в диапазоне  (амплитуда не может быть отрицательной).

20. Биения. График зависимости X(t).

Биения, периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Биения возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторрое время — в противофазе, затем снова в фазе и т. д. Если А₁ и А₂— амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда результирующего колебания достигает наибольшего значения А₁+А₂, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда результирующего колебания падает до наименьшего значения А₁-А₂.

Биения, возникающие при наложении двух близких по частоте колебаний; Т — период биений.

В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе (рис.).

Результат наложения колебания можно записать в виде:

где ω₁ и ω₂— соответствующие угловые частоты двух накладывающихсягармонич. колебаний. Если ω₁ и ω₂ мало различаются, то в выражении (1) величину

можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду (огибающую) колебания

Угловая частота Ω=ω₁-ω₂ называется угловой частотой биения. Т. о., биения представляют собой один из вариантов амплитудно-модулированных колебаний (см. Модуляция колебаний). По мере сближения частот ω₁ и ω₂ частота биения уменьшается, исчезая при ω₁→ω₂ («нулевые» биения). Определение частоты тона биения между измеряемым и эталонным колебанием — один из наиболее точных методов сравнения измеряемой величины с эталонной, широко применяемый на практике; метод биения применяют для измерения частот ёмкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе слухового восприятия и т. д.