21. Сформулируйте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Как привести квадратичную форму к нормальному виду.

Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Коэффициенты при этих переменных – действительные числа.

F (x₁, x₂, x₃) = a₁₁x₁² + a₂₂x₂²+ a₃₃x₃² + 2a₁₂x₁x₂ +2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃

Квадратичную форму называют канонической, если a_ij = 0, i  j (если в ней нет смешанных произведений).

Нормальным видом квадратичной формы называют такую каноническую квадратичную форму, у которой коэффициенты при всех переменных равны +/- 1. Чтобы привести квадратичную форму к нормальному виду, надо сначала привести ее к каноническому виду, а затем ввести новые переменные, равные a_iix_i².

Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Это можно сделать двумя способами. Первый - метод Лагранжа. Он заключается в последовательном выделении квадратов по каждой переменной. Второй – метод ортогональных преобразований. В этом случае ищутся собственные значения матрицы данной квадратичной формы, которые формируют ее канонический базис в главных осях.

22.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Проиллюстрируйте закон инерции на примере.

Закон инерции квадратичных форм: число положительных квадратов, как и число отрицательных, в любом каноническом виде данной квадратичной формы одно и тоже и не зависит от того, каким невырожденным линейным преобразованием переменных получен канонический вид. Число положительных квадратов в каноническом виде называют ее положительным индексом инерции и обозначают I₊, число отрицательных квадратов, I_- – отрицательным индексом инерции.

Пример:

здесь p=2, q=1

Эти числа будут постоянными и не будут меняться при изменении линейного преобразования.

23. Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0…

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (a_ij). Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её угловые миноры Δ_i положительны, отрицательно определена, если и только если их знаки чередуются, причём Δ₁ < 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.