4. Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

А) Размерность подпространства L(12…s) векторов 12…s пространства V называется рангом системы векторов 12…s и обозначается rk(12…s). Таким образом, ранг системы равен r, если среди векторов системы существуют r линейно независимых, а любые q>r векторов данной системы линейно зависимы. Ранг же линейно независимой системы равен числу ее членов.

Б) Система векторов ₁,₂,₃, называется базисом в Rі, если возможны следующие условия:

1. Эти векторы линейно независимы

2. Любой вектор Rі является линейной комбинацией векторов данной системы, т.е.=

Базис в Rі - это любая упорядоченная система из 3-х линейно независимых 3-мерных векторов.

1. Система линейно независимая, поскольку она линейная.

2. Рассмотрим =(х₁;х₂;х₃) = (х₁;0;0) + (0;х₂;0) + (0;0;х₃) = х₁(1;0;0) +х₂(0;1;0) + х₃(0;0;1) => - линейная комбинацияe₁,e₂ и e₃ => {e₁;e₂;e₃} –базис в Rі.

Если система векторов такова, что только с₁ā₁+с₂ ā₂+…+с_s ā_s=0 выполняется, только если с₁=с₂=…=с_s, то эта система называется линейно независимой.

Дано: { Ō; ā₁; ā₂;…; ā_n}

Доказать: {Ō; ā₁; ā₂;…;ā} – линейно завис.

Доказательство:

1. {Ō} – л.з. по св-ву 1є линейной зав-ти.

2. (1) c0Ō+Оā1+Оā2+…+Оān = 0 c0 ≠ 0 из (1), значит {Ō; ā1; ā2;…,ān} – линейно зависима по определению, ч.т.д.

Пример: {Ō; ā₁; ā₂}, где ā₁ = (1;1;1), ā₂ = (2;2;2), с₀(0;0;0)+0(1;1;1) + 0(2;2;2) = 0

5. Определение ортогональной системы векторов.

Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.

Если ортогональная система векторов а₁,а₂,…,а_s не содержит нулевого вектора, то она линейно независима. Действительно, подсистема, состоящая из вектора ā₁ линейно независима. Если подсистема а₁,а₂,…,а_s линейно независима, то, присоединяя к ней вектор ā_t+1 , получим линейно независимую систему. Таким образом мы получим линейную независимость всей системы.

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с₁, с₂, …, с_k, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: =, в противном случае система называется линейно независимой.

Эти определения эквивалентны.

6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.

Скалярным произведением двух векторов a=(a₁ , a₂ , ..., a_n ) и b=(b₁, b₂, ..., b_n) называется число (a, b)=a₁b₁+a₂b₂+ ...+a_nb_n.

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1.()=().

2. (k)=k ()

3. (a+ b, c)=(a, c)+ (b, c)

4. ()> 0, если, и если ()= 0, если

cos.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в|

Равенство справедливо при векторе а0 и векторе в0. Однако формула не совсем проста. Уравнение cos = с, (где  - неизвестное число) имеет решение только при –1c1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1.