- •2. Понятие обратной функции.
- •5. Определение предела последовательности.
- •6. Свойства пределов числовых последовательностей.
- •8. Определение ограниченной последовательности.
- •9. Определение бесконечно малой последовательности.
- •10. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •11. Определение беск. Большой последовательности.
- •16Правила вычисления пределов функций.
- •3. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел
- •4. Докажите ограниченность сход послед-и
- •5. Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02
- •6. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.
- •7. Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.
- •9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.
- •10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.
- •11. Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют.
- •13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.
- •15. Докажите, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если последние существуют.
- •30. Общие правила дифференцирования.
- •31.Теорема о производной обратной функции.
- •32.Теорема о производной сложной функции.
- •33. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •34. Уравнение касательной.
- •40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.
- •45. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа.
- •34. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.
- •32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?
- •41. Признак монотонности дифференцируемой функции:
- •48. Определение неопределенного интеграла:
- •77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
- •78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.
- •82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.
30. Общие правила дифференцирования.
( f (g (x)) )’ = f ‘(g(x)) · g ‘ (x)
(u v )’ = v · u v-1 · u’ + uv · v’ · ln u
31.Теорема о производной обратной функции.
Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.
32.Теорема о производной сложной функции.
.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.
33. Геометрический смысл производной и дифференциала.
Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность
Δу=f(x)-f(x0)= f(x+Δx)-f(x0)
Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)
Написать обозначение производной.
Геометрический смысл производной.
Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))
Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.
Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.
Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)
Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).
34. Уравнение касательной.
Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:
y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)
Т.к. k= f′(x0), то
y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).
34. Определение эластичности функции.
функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел
Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).
Δx 0
Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)
35. Теорема Ролля.
Если функция, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
36. Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке [a, b];
дифференцируема в интервале (a, b).
Тогда существует точка с О (a, b) такая, что
|
f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) . |
(1) |
Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений
37. Теорема Коши.
Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:
f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;
производные иконечны на интервале;
производные ине обращаются в нуль одновременно на интервале
;
тогда
, где
(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a,b).)
38. Правило Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел
(конечный или бесконечный),
то существует и предел
при этом выполняется равенство:
39. Производные и дифференциалы высших порядков.
Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:
d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка
d3y=d(d2y)…
dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка
40. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
теорема Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:
|
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+1(x) = o((x-a)n) при x a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
|
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид
Rn+1 = o(xn) при x 0.
Приведем разложения некоторых элементарных функций поформуле Маклорена
Найдите, исходя из
определения, производную функции f(x) в точке x0:
26. f(x) = x3, x0 - произвольное число.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
f(x) = x3
f ′(xо)= = ===3
27. f(x)=sinx, xо-произвольное число
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
f ′(xо)= = = =cosx0
28. f(x)=, xо =9
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
f ’(x)= = ==1/6
29. f(x)=, xо =1
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
f ’(x)= = ===-2
30. f(x)=xx, x0=0
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
31.
Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.
f ’(x)= =
Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:
38. f(x) = x4 , x0 = 9.
Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел
f (x) = x4 => E(x)=, при x0 = 9.
39. f(x) = 3x , x0 = 5.
Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел
E(x)=