1. Волновое движение

Если в средах, обладающих упругими свойствами, вызвать колебание одной частицы, то в движение вовлекаются окружающие частицы среды. Представим такую среду в виде ряда материальных точек, соединенных пружинками (рис. II. 1). Колебание, вызванное в одной точке, распространяется по всей цепочке. Все частицы колеблются по одному закону. Так как каждая частица обладает определенной массой, процесс распространения колебаний от одной точки к другой происходит не мгновенно, а с некоторой конечной скоростью. При этом каждая последующая частица отстает от предыдущей по фазе.

Рассмотрим подробнее процесс распространения колебаний. Для этого выделим в среде ряд точек, сдвинутых по фазе на L/8. В однородной среде эти точки располагаются на равных расстояниях друг от друга (рис. II.2). В начальный момент времени все частицы находятся в состоянии покоя. Допустим, что первая частица приводится в гармоническое колебание. Положение точек среды через 1/4 периода после начала колебания первой частицы изображено на рис. II.2, а; первая частица, двигаясь вверх, достигла амплитудного смещения; вторая частица отстает от нее по фазе, и поэтому смещение ее меньше; еще меньше смещение третьей и четвертой частиц; пятая же частица находится еще в состоянии покоя, так как она сдвинута по фазе относительно первой точки на 1/4(l/16 X 4) периода; все последующие частицы также находятся еще в покое. Через 0,5 периода после начала колебания первая частица (рис. II.2, б) совершает половину колебания и, двигаясь сверху вниз, проходит положение равновесия. Остальные частицы, отставая от нее по фазе, смещены вверх относительно положения равновесия. Девятая и все последующие частицы неподвижны, так как движение еще не достигло их. На рис.II.2, в, г, д показано положение всех частиц в последующие моменты времени

Рассмотренный процесс распространения колебаний в упругой среде называется волновым движением, или волнами. За больший отрезок времени волна распространяется на большее расстояние и ее можно изобразить большим отрезком синусоиды. При волновом движении в среде имеется ряд частиц, колебание которых совершается тождественно, сдвиг по фазе между такими частицами кратен 2π. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися синфазно, называется длиной волны. Обозначается эта величина буквой X.

Из рис. П.2 следует, что колебательное движение распространяется на расстояние, равное длине волны, за время одного периода. Это позволяет определить скорость, с которой происходит распространение волны:

Соотношение (II. 1) является основным в теории волн. Оно справедливо для любого рода волн. Эта же формула может быть записана следующим образом:

Составим уравнение волны. С этой целью определим смещение точки, расположенной на произвольном расстоянии / от первой частицы. Если смещение первой частицы изменяется по гармоническому закону:

то все последующие частицы колеблются по тому же закону. Точка, расположенная на расстоянии / от первой, отстает от нее по фазе. Смещение этой точки определяется выражением:

где t_x — время, в течение которого колебание от первой точки распространяется до рассматриваемой точки. Это время равно: следовательно:

Выражение определяет сдвиг по фазе рассматриваемой точки от первой. Этот сдвиг по фазе пропорционален расстоянию l, так как скорость распространения волны является постоянной величиной. Отношение — называется волновым числом и обозначается буквой k.

Волновое число можно записать в другом виде:

Введя волновое число в уравнение (II.3), получим уравнение волны в следующем виде:

В полученном уравнении смещение изменяется в зависимости от времени и от расстояния. Если l постоянно, то выражение (II.5) характеризует закон изменения смещения каждой колеблющейся частицы во времени. Если время t постоянно, то уравнение (II.5) показывает, каково положение всех колеблющихся частиц среды в данный момент времени. Из этого следует, что частицы располагаются в пространстве по синусоиде. На рис. II.2 изображен ряд графиков, соответствующих форме волны в различные моменты времени.

Рис. II.3. Процесс распространения продольных колебаний в упругой среде

Если в уравнении волны (II.5) и время t и расстояние t изменяются, то оно характеризуют весь волновой процесс, сущность которого заключается в том, что наряду с колебаниями каждой частицы относительно положения равновесия происходит распространение колебания от одной частицы к другой. В выражении (II.5) аргумент (ωί—kl) называется фазой волны. Фаза волны зависит от времени и от расстояния.

Мы рассматривали волны, у которых колебание частиц происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Такие волны называются поперечными. В цепочке, изображенной на рис. II. 1, смещение частиц может происходить и вдоль цепочки, т.е. в направлении распространения волны. Такие волны называются продольными. Однако если в одной среде (как, например, в рассмотренной цепочке) могут распространяться и продольные и поперечные волны, то скорости распространения их различны, так как различны упругие силы.

Все приведенные соотношения справедливы и для поперечной и для продольной волны. На рис. П.З показан процесс распространения продольной волны.

Для удобства построения в упругой среде отмечены частицы, колебания которых сдвинуты по фазе на π/16. Изображен процесс распространения синусоидальных колебаний. Положительному смещению частицы соответствует на рисунке ее перемещение вправо от положения равновесия, отрицательному смещению — перемещение влево от положения равновесия. Внешняя сила сообщает колебания первой частице, а от нее они передаются всем остальным частицам упругой среды.

Штриховые линии, соединяющие положение частиц в различные моменты времени, выражают графически закон колебания каждой частицы.

При построении графика предполагалось, что все частицы колеблются с различными фазами, но с одинаковой амплитудой, т. е. что все последующие частицы повторяют движение предыдущих. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в одних участках среды частицы сближаются друг с другом, образуя сжатие; в других участках частицы, удаляясь друг от друга, создают разрежение, причем сжатия образуются возле тех частиц, которые движутся с максимальной скоростью по направлению распространения волны (например, частицы 7, 9, 17 — на рис. II.3 в момент t9 = 2T), а разрежения — возле частиц, движущихся с наибольшей скоростью навстречу волне (частицы 5, 13 — в тот же момент t9).

Действительно, первая частица в момент t9 проходит положение равновесия, потому скорость ее максимальна; движется она вправо. Такой же фазой характеризуется движение девятой и семнадцатой частиц. Частицы 5 и 13 в момент t9 тоже проходят положение равновесия, имеют, поэтому наибольшую скорость, но движутся влево. Продольную волну графически также можно изобразить в виде синусоиды. Однако это изображение не является формой волны, оно отображает математический закон движения волны. Необходимо усвоить, что волна есть процесс распространения состояния колебательного движения, частицы же не перемещаются из одного участка пространства в другой, а колеблются относительно положения равновесия.

Спектр

Другой метод, основанный на частотном представлении, был разработан на базе установленного Фурье (1822) положения, согласно которому колебание любой формы может быть разложено в ряд синусоидальных колебаний или синтезировано из них. Учитывая это, следует отнестись с должным вниманием к свойствам синусоидальных колебаний.

Слово "синусоидальный" обозначает тип простых гармонических колебаний, то есть наиболее элементарных колебаний, из которых чаще всего встречается синусоида А (фиг. 2). Любую синусоиду можно определить тремя характеристиками: частотой, максимальной амплитудой */Максимальная амплитуда (амплитуда) обозначается буквой А в отличие от меняющейся мгновенно амплитуды, обозначаемой через а и фазовым углом.

Ф и г. 2. Колебания и спектры. В каждой из шести пар графиков колебания (слева), показывающие амплитуду как функцию времени, дают такие же дан-ные, как и спектр (справа), показывающий амплитуду и фазовый угол как функции частоты. Графики колебаний должны пониматься как имеющие бесконечное продолжение в обоих направлениях. Графики спектра предполагают бесконечное продолжение вправо. Амплитуда (жирные линии) определяется в произвольных единицах, а фазовый угол (пунктирные линии или крупные точки) в градусах.

Частота - это число колебаний в единицу времени, то есть количество периодов в 1 сек (герцы). Амплитуда представляет собой максимальное смещение от нулевого положения. Фазовый угол, имеющий значение только по отношению к произвольно выбранному исходному моменту, определяет участок периода, на котором находится точка, соответствующая исходному моменту */В выражении α=A sin (2πft+φ) вся величина 2πft + φ представляет собой мгновенный фазовый угол. Он содержит постоянный член φ, который мы определяем как третий параметр синусоиды.

Для того чтобы иметь удобный метод определения фазы, делим полный период на 360°, или 2π радиан, начиная от оси ординат.

Если начало периода (0°) совпадает со временем t=0, как это показано на фиг. 2.А, мы рассматриваем это колебание как синусоидальную волну. Если t=0 соответствует максимуму звуковой волны (фазовый угол равен 90°), мы рассматриваем данную волну как косинусоидальную. Если ни одно из этих положений не имеет места, мы определяем начальную фазу при t=0 в градусах или радианах.

Цель частотного анализа состоит в том, чтобы разложить сложную волну на синусоидальные составляющие различной частоты, а затем представить ее в виде максимальных амплитуд и фаз частотных составляющих. Данный процесс показан на фиг. 3.

Фиг. 3. Пример перехода от колебаний к спектру.

Сложное колебание, заключенное между двумя огибающими, обозначенными пунктиром, образовано путем сложения ординат двух синусоид, помещенных выше.

Чтобы произвести частотный анализ, мы, следовательно, раскладываем сложное колебание на составляющие (для этой цели разработаны фотоэлектрические и механические анализаторы, а также методы математического анализа).

Для каждой составляющей мы определяем частоту, максимальную амплитуду и фазовый угол при t=0. Спектральное представление сложного колебания осуществляется последовательным расположением спектров простых колебаний так, как это показано в нижнем правом углу фиг. 3.

Вертикальные линии на шкале частот расположены в точках, соответствующих 12 и 15 гц, так как первое значение содержит 12 полных периодов в 1 сек, а второе - 15.

Высота линий определяет максимальную величину амплитуд синусоидальных составляющих, а то обстоятельство, что две точки помещаются на нулевой линии рядом, показывает, что две составляющие являются синусоидальным колебанием (нулевой фазовый угол при времени t=0).

Зависимость между формой колебания и спектром

Спектр в его трех параметрах (частота, максимальная амплитуда и фаза) характеризует звуковую волну полностью и однозначно, подобно колебанию в его двух измерениях (амплитуда и время). Тем не менее в каждом конкретном случае тот или другой из указанных видов описания звуковой волны окажется более подходящим для данной цели.

Следовательно, представление колебания в виде спектра и спектра как колебания, называемое преобразованием Фурье, является важным средством изучения слуха. В пределах данной главы мы не имеем возможности вдаваться в подробности математического анализа, а поэтому изучение параллельных графиков, показанных на фиг. 2, поможет полнее охватить интересующую нас проблему.

Мы уже рассмотрели синусоидальную волну A с ее периодическими колебаниями и однокомпонентным спектром. Установлено, что колебание прямоугольной формы в качестве одной из своих составляющих имеет синусоиду той же частоты и фазы, как и волна A, но с несколько большей величиной максимальной амплитуды. Кроме того, к этой основной составляющей (первой гармонике) добавляется ряд гармоник более высокого тона - синусоид с частотами, кратными основной частоте.

Следует отметить, что в данном случае множители представляют собой целые нечетные числа: 1000 гц, 1000 гц умноженные на 3, умноженные на 5 и т. д. Кроме того, гармоники представляют собой синусоидальные колебания (фазовый угол равен 0°), и их максимальные амплитуды обратно пропорциональны их частотам. Для точного графического изображения диапазона спектра колебаний прямоугольной формы пришлось бы продолжать график бесконечно далеко вправо, так как, хотя высокочастотные составляющие и очень слабы, в идеально прямоугольном импульсе будут присутствовать все нечетные гармоники. Колебания идеально прямоугольной формы в природе не встречаются, так как частицы воздуха имеют конечную массу и, следовательно, им нельзя сообщить бесконечно большое ускорение, которое следует из прямоугольной формы волны.

Интересно сравнить ряд импульсов (см. фиг. 2.С), имеющих прямоугольную форму с единичным импульсом.

Ряд импульсов имеет как четные, так и нечетные гармоники. Компоненты представляют собой вместо синусоид косинусоиды (фазовый угол равен 90°), и в качестве первой аппроксимации - все представленные на фиг. 2 гармоники одинаково сильны или, что более удобно, одинаково слабы. Наличие четных гармоник в спектре импульса объясняется тем, что колебание происходит не около центральной оси, как в случае волны прямоугольной формы; наличие косинусоидальных компонентов вместо синусоидальных объясняется тем, что колебание располагается симметрично по отношению к вертикальной линии, когда t=0.

Однородность спектра импульсов объясняется краткостью самих импульсов. Путем создания достаточно коротких колебаний степень однородности спектра может быть распространена до любой желаемой частоты.

Если имеется только один импульс (см. фиг. 2.D), то спектр все же остается однородным. Однако в этом случае энергия не концентрируется на определенных частотах, а распределяется по всей шкале частот. Данное явление носит название сплошного спектра, тогда как спектры синусоидального колебания и колебания прямоугольной формы являются линейчатыми спектрами. Шкала максимальной амплитуды спектра единичного импульса не калибрована, и ввиду того, что энергия единичного импульса распределяется среди бесконечно большого числа частотных составляющих, величина максимальной амплитуды каждой составляющей будет беско-нечно малой. Тем не менее шкала фазового угла может быть размечена, как раньше; все составляющие представляют собой косинусоидальные колебания.

Акустические шумы могут рассматриваться и как акустические сигналы и как помехи. На практике для измерений и оценок используют три типа шумов: белые, розовые и речевые. Термин «белые» относятся к шумам, имеющим одинаковую спектральную плотность во всем частотном диапазоне. Термин «розовые» относятся к шумам, имеющим тенденцию спада на 3 дБ/окт в сторону высоких частот. Речевые шумы – шумы, создаваемые одновременным разговором нескольких человек. На рисунке – спектральные уровни некоторых шумов (показан суммарный уровень для каждого типа шума):

1 – белого, 2 – розового, 3 – речевого.

Белый шум, как его часто называют (см. фиг. 2.E), или шум, созданный беспорядочными колебаниями, представляет особый интерес, поскольку он присутствует всегда. Вследствие термического движения молекул воздуха создается шум, который только на незначительную величину слабее слышимого. Колебания электронов в проводниках и вакуумных лампах создают шум, подобный "шипению" в радиоприемниках и репродукторах. Распределение мгновенных значений амплитуд следует кривой нормального распределения. Спектр однороден по максимальной амплитуде и случаен по фазе.

Одним из путей определения зависимости между колебанием и спектром может явиться способ наложения бесконечно большого числа волн с различными частотами. Поскольку фазовые отношения между синусоидами точно не установлены, последние либо усиливают, либо ослабляют друг друга в совершенно случайном порядке.

В заключение несколько слов о коротком тоне (см. фиг. 2.F). Одной из причин, вследствие которых короткие тона имеют практическое значение в исследованиях слуха, является та, что в реальном эксперименте мы не можем представить слухового стимула в бесконечности, которая была бы необходима для создания идеально чистого тона. При включении или выключении тона чистота последнего нарушается. Всякий раз, когда мы изменяем частоту, максимальную амплитуду или фазу тона, мы распределяем его энергию по всей частотной шкале. Примером этого является спектр, показанный на фиг. 2.F. Вместо энергии, сконцентрированной на частоте 3000 гц, как можно было ожидать, зная, что в 1 мсек укладывается три периода, мы находим почти непрерывное распределение энергии начиная с 0 до 10 000 гц. Следует признать, что это крайний случай; для более длительных тонов энергия спектра концентрируется более тесно близ центральной частоты. Но основное положение остается неизменным: как тольком мы меняем что-либо, связанное с чистым тоном, чистота его утрачивается.

ТЕМБР ЗВУКА

Тембром звука называется то качество восприятия звука, которое, независимо от частоты и амплитуды, позволяет отличить звучание одного источника от другого. Источники звука — музыкальные

инстр ументы, голос и др. — создают сложные периодические звуковые колебания, форма которых несинусоидальна. Сложный периодический процесс может быть представлен с помощью спектрограммы, когда по оси ординат откладывают амплитуды гармоник, а по оси абсцисс их частоты. Такой спектр, состоящий из ряда линий, называется дискретным частотно-амплитудным спектром. Амплитуда основной частоты может быть меньше амплитуды высших гармоник.

Ha рис. III.7 приведена спектрограмма звуков альта и кларнета, возбужденных на частоте 128 Гц. Спектрограмма показывает, что, хотя оба инструмента звучат на одном основном тоне 128 Гц, каждый из них имеет свой тембр, зависящий от числа и соотношения амплитуд гармонических составляющих. Тембр, создаваемый высокими гармониками, характеризуется ярким металлическим звучанием, низкие гармоники придают звучанию глубокий лирический оттенок. Следовательно, тембр обусловливает художественную сторону звучания, придавая звуку своеобразную окраску.

Кроме периодических звуков существуют непериодические звуки, которые нельзя разложить на гармонические составляющие, например шум заводского цеха, улицы и т. д.

Амплитуда шума изменяется время от времени, и эти изменения носят нерегулярный, случайный характер. Совокупность периодических и непериодических звуков дает реальную картину звукового колебательного процесса.

Таким образом, звуковой колебательный процесс характеризуется такими физическими величинами, как частота, амплитуда и форма кривой, а слуховое восприятие этого процесса связано с восприятием высоты тона, громкости и тембра звука.

ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ

Звуковые явления представляют собой частный случай волнового движения. Звук может распространяться в любой упругой среде, но обычно звуковые волны доходят до нашего слуха по воздуху. Рассмотрим процесс образования звуковых волн. Если лопается сильно надутый резиновый шар, то освободившийся воздух создает в данной точке воздушной среды повышенную плотность. Вследствие упругости этот объем воздуха стремится расшириться, причем из-за инерции процесс происходит не мгновенно, а с определенной скоростью.

Расширение воздуха в рассматриваемой точке приводит к образованию зоны повышенной плотности (сжатия) в близлежащем слое воздуха, затем на его месте образуется разрежение, а сжатие создается в следующем слое и так далее.

Лопнувший шар создает одиночный звуковой импульс. При длительных колебаниях какого-либо тела процесс возникновения волн происходит беспрерывно. При движении колеблющегося тела вперед сжимается близлежащий к нему слой воздуха, в среде распространяется сжатие. Если же тело движется назад, то на его месте создается разрежение, в которое втягивается лежащий вблизи слой воздуха; теперь на этом месте создается разрежение и так далее. В воздухе распространяется разрежение. Одному полному колебанию тела соответствует одно сжатие и одно разрежение. В воздушной волне частицы среды колеблются относительно положения равновесия в направлении распространения волны, т. е. волны в воздухе являются продольными.

Звук представляет собой волны сжатия и разрежения, которые возникают при колебании тел со звуковой частотой. Область среды, где происходят звуковые колебания и распространяются звуковые волны, называется звуковым полем.

Одной из характеристик звукового поля является фронт волны — воображаемая непрерывная поверхность, проходящая через точки, которые колеблются в одинаковой фазе.

Наиболее частыми и наиболее простыми случаями являются сферические (шаровые) и плоские волны. Фронт сферической волны имеет форму шара, плоской волны — плоскости. Нормали, проведенные к фронту волны, называются звуковыми лучами. Лучи указывают направление распространения волны. Сжатия и разрежения воздуха в звуковом поле изменяют его давление. При сжатии давление возрастает в сравнении с атмосферным, при разрежении воздуха давление уменьшается. Поэтому при распространении звука возникает переменная часть давления, называемая звуковым давлением. Звуковое давление изменяется в соответствии с законом колебания излучателя звука. Это важная характеристика звукового поля, так как звуковое давление вызывает колебания барабанной перепонки и является причиной восприятия звука. Единицей измерения звукового давления является 1 Па (паскаль) — давление силы в 1 Ньютон на площадь в 1 м2.

Звуковые давления изменяются в значительных пределах. Например, при еле слышном шелесте листьев, при слабом ветре звуковое давление составляет примерно 10 ^-4 Па, при разговоре в полный голос в обычной комнате звуковое давление достигает 0,1 Па, звуковое давление вблизи работающего авиационного мотора равно около 100 Па. И все же величина звукового давления значительно меньше атмосферного давления. Достаточно вспомнить, что нормальное атмосферное давление, равное 760 мм ртутного столба, измеряется 1,03-10⁵ Па, т. е. в 1000 раз больше максимального звукового давления.

Звуковое поле характеризуют также смещением и колебательной скоростью частиц среды. Как уже указывалось, смещение частиц изменяется во времени и пространстве. Эти величины не совпадают по фазе друг с другом и со звуковым давлением. Колебательную скорость следует отличать от скорости звука, которая равна скорости распространения в среде звуковых колебаний.

Скорость звука в воздухе определяется по формуле:

где р₀ — нормальное атмосферное давление, Па; р — плотность воз- духа, кг/м³; ; τ — отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Для воздуха f = 1,41.

Скорость звука в воздухе не зависит от давления (она одинакова и в горах, где воздух разрежен, и в долине), но значительно зависит от температуры: при повышении температуры скорость звука возрастает. Если температура повышается на 1°С, то скорость звука увеличивается примерно на 0,5 м/с. При температуре 0 С скорость звука составляет 331,5 м/с, при комнатной температуре (18°С) эта скорость равна 342 м/с. Зависимость скорости звука в воздухе от температуры после преобразования формулы (11.6) получается в следующем виде:

где Т — абсолютная температура, К.

Скорость звука в воздухе может быть сравнительно легко определена. Звук отражается от преграды. Поэтому, находясь на некотором известном расстоянии от преграды и имея секундомер, можно создать короткий звуковой импульс (крик, хлопок в ладоши, стук); затем следует заметить момент создания импульса и момент приема эхо. Тогда скорость звука определится по формуле:

где t — замеренный промежуток времени; L — расстояние до преграды. В формулу входит 2L, так как звук дважды проходит расстояние L.

Итак, скорость звука составляет примерно 340 м/с, или около 1200 км/ч.

Для наглядности укажем, что скорость современных реактивных самолетов близка к скорости звука или превышает ее. Скорость полета снарядов противотанковой и зенитной артиллерии — 1000 м/с и более, т. е. почти в три раза выше скорости звука. Скорость полета ракеты при выводе спутника на орбиту несколько более 8 км/с, т. е. более чем в 20 раз превышает скорость звука.

в олной в 1 с через площадь 1 м², перпендикулярную звуковым лучам. Это количество энергии согласно определению равно интенсивности звука. Следовательно:

1 = Ес. (11.12)

Полученное соотношение справедливо не только для плоской, но и для шаровой волны.

СЛОЖЕНИЕ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЗВУКОВЫХ ВОЛН

Часто в упругих средах распространяются волны не одного, а нескольких источников. При этом наблюдается суперпозиция волн, т. е. распространение волны происходит так же, как при отсутствии других волн. Действительно, известно, что несколько звуков могут распространяться в воздухе, не влияя друг на друга. В этом случае вектор смещения каждой частицы среды определяется путем геометрического сложения смещений, которые испытывала бы эта частица под действием каждой отдельной волны. В среде создается сложное звуковое поле. Среди всевозможных случаев сложения волн наиболее простым и имеющим существенное значение является случай сложения волн одинаковой частоты, но с различными амплитудами и направлениями распространения. При их сложении происходит интерференция звука. Заключается это явление в том, что в некоторых точках звукового поля, которых рассматриваемые волны достигают в одинаковой фазе, происходит усиление волнового движения; если же колебания, вызванные данными волнами, совершаются в противофазе, то в таких участках среды волновое движение ослабляется или полностью уничтожается. Иными словами, усиление или ослабление колебаний при сложении волн одинаковой длины называются интерференцией.

Чтобы получить устойчивую интерференционную картину, необходимы когерентные источники волн, т. е. источники, излучающие волны одинаковой частоты с неизменяющимся во времени сдвигом фаз.

Рассмотрим частный случай интерференции, когда складываются волны, имеющие одинаковую амплитуду и частоту, но направленные навстречу друг другу (рис. II.5). Допустим, в момент времени t_x .== О и обе волны совпадают по фазе. Кроме того, волна, изображенная штриховой линией, распространяется вправо, а штрихпунктирной — влево. В начальный момент все частицы среды испытывают удвоенное смещение, за исключением точек а, где колебания отсутствуют (смещение равно нулю). В момент времени t₂ = T/8 волновая картина изменится, так как за это время штриховая волна сместилась на1/8λ вправо, а другая волна на такое же расстояние — влево. (Вспомним, что скорость распространения волны постоянна и что на расстояние, равное длине волны, колебания распространяются за время, равное периоду.) Определение суммарного смещения каждой частицы позволяет получить положение результирующей волны.

Из рисунка видно, что и в этот момент времени частицы а остаются неподвижными. Положение остальных частиц изменилось. Продолжая рассматривать процесс в различные моменты времени t₃, t₄, t₅, отделенные друг от друга равными отрезками времени T/8 , можно получить для каждого момента форму суммарной волны. Из построения видно, что в точках а колебания все время отсутствуют, все другие точки колеблются с различной интенсивностью, колебания с наибольшей амплитудой совершают частицы б. Неподвижные точки суммарной волны называются узловыми. Точки, в которых колебания совершаются наиболее интенсивно, называются точками пучностей. Пучности расположены посредине между узлами. Совершающийся подобным образом волновой процесс называется стоячей волной.

В случае стоячих волн каждая из составляющих бегущих волн переносит равное количество энергии, но в противоположных направлениях. В результате, интенсивность звука равна нулю. Энергию поля стоячей волны рациональнее характеризовать величиной плотности звуковой энергии.

Если бегущие волны, равной длины и противоположно направленные, имеют различные амплитуды Х_т1 и X_m2, то волна меньшей амплитуды Х_т2 образует с частью встречной волны стоячую волну; помимо нее в среде распространяется бегущая волна разностной амплитуды (Х_т1—Х_т2). Поэтому смещение в узлах не равно нулю, оно определяется амплитудой бегущей волны (X_m1 — Х_т2), а смещение в пучностях равно сумме амплитуд слагаемых волн (Х_т1 + Х_т2)·

Образование стоячей волны в воздухе приводит к неравномерному распределению энергии в звуковом поле.

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА — ФРЕНЕЛЯ

Д ля понимания процессов, происходящих при распространении звуковых волн, большое значение имеет принцип Гюйгенса—Френеля. Согласно этому принципу каждую точку среды, пришедшую в колебание при распространении волны, можно рассматривать как источник элементарной вторичной шаровой волны. Волны, излучаемые действительным источником, называют первичными волнами.

На основании принципа Гюйгенса первичную волну можно рас- сматривать как сумму элементарных вторичных волн. Допустим, что шаровая волна, излучаемая каким-то источником, в момент t достигает поверхности I (рис. II.6). Частицы, расположенные на этой поверхности, рассматриваем как источники вторичных волн. Все эти частицы колеблются в одинаковой фазе; волны, излучаемые ими, распространяются в среде со скоростью с.

Чтобы определить положение первичной волны в момент времени t₁ + Δt, следует провести вторичные волны радиусом с At, так как это произведение равно расстоянию, на которое распространяется волна за время Δt. В результате интерференции вторичных волн они взаимно усиливают друг друга в направлении звуковых лучей (в этом направлении их действия совпадают по фазе) и компенсируют друг друга в направлении, перпендикулярном звуковым лучам. Первичная волна является огибающей всех вторичных волн (на рис. II.6 — это поверхность //).

Окончательно принцип Гюйгенса—Френеля сформулируем следующим образом: каждую частицу среды, пришедшую в колебание в результате распространения первичной волны, можно рассматривать как источник элементарной вторичной шаровой волны; вторичные волны когерентны и интерферируют друг с другом; результирующей элементарных вторичных волн, дающей действительную волну, является огибающая этих вторичных волн.

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА

Звуковые волны, распространяясь в воздухе, встречают на своем пути препятствия различных размеров. При этом волны могут огибать препятствия и проникать в область среды, находящуюся за препятствием. Способность звуковых волн частично огибать преграды и изменять направление звука у границ препятствия называется дифракцией звука. Однако это явление происходит при определенном соотношении между длиной распространяющейся звуковой волны и размерами преграды. В акустике приходится иметь дело с длинами волн от нескольких метров до нескольких сантиметров.

Рассмотрим различные случаи падения звуковых волн на преграду или распространение звука за отверстием в перегородке.

На рис. 11.7, а показано падение звуковых волн на препятствие или на перегородку с отверстием, когда длина волны значительно превышает размеры препятствия или отверстия. Для построения воспользуемся принципом Гюйгенса—Френеля. Перегородку условимся считать звуконепроницаемой, поэтому источниками вторичных волн являются точки фронта волны, падающей на препятствие, которые не соприкасаются с ним. Стрелки указывают направление звуковых лучей. Так как λ >> d (d — диаметр отверстия), то, очевидно, фазы волн, пришедших в любую точку звукового поля из различных точек отверстия, отличаются незначительно.

Вторичные волны усиливают друг друга во всех направлениях. Отверстие является как бы точечным источником звука, создающим за перегородкой шаровую волну.

В случае малого препятствия (см. рис. II.7, а) подобные же рассуждения позволяют сделать вывод о том, что волны полностью проникают в область геометрической тени, т. е. препятствие не влияет на распространение звуковой волны. Если отверстие соизмеримо с длиной волны (рис. II.7, б), то в различные точки за отверстием вторичные волны приходят с разным сдвигом по фазе. Эти волны интерферируют друг с другом; в результате непосредственно за отверстием фронт волны не изменяется, у границ же отверстия происходит искривление фронта волны. Звуковые лучи загибаются в область геометрической тени. За экраном (см. рис. П.7, б) также происходит изменение фронта волны.

Таким образом, в рассмотренных случаях происходит дифракция ЗВУКОВЫХ волн. Если же длина волны значительно меньше размеров экрана или отверстия (рис... II.7, в), то дифракция звука почти не наблюдается. За перегородкой образуется область, в которой отсутствует

волновое движение. Эта область среды носит название акустической тени. Можно провести множество примеров дифракции звука: мы слышим звуки из-за угла, в то время как источник звука нам не виден; открыв форточку, мы слышим шум улицы.

Особым случаем дифракции является рассеяние звуковых волн. Это явление наиболее подробно изучено для случая, когда на пути звуковых волн находится препятствие цилиндрической или шаровой формы. Если диаметр тела соизмерим с длиной волны, то происходит частичное отражение звуковых лучей от шаровой поверхности (рис.II.8). У поверхности тела образуются вторичные шаровые волны, которые распространяются в направлении, обратном направлению падающей волны. Подобным образом рассеивают звук деревья в лесу. В сумме эти рассеянные волны дают эхо от опушки леса, как от некоторой твердой преграды. При рассеянии звуковых волн изменяется давление у препятствия. Следовательно, наличие тела вызывает искажение звукового поля.

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН

Если при распространении звука волны переходят из одной акустической среды в другую, то на границе раздела сред происходит отражение и преломление звука. Различные акустические среды отличаются величиной удельного акустического сопротивления. Для звуковых лучей справедливы законы отражения и преломления, известные из оптики.

Чтобы определить интенсивность звука отраженной и преломленной волн, введем понятия о коэффициентах отражения и поглощения.

Коэффициентом отражения называется отношение интенсивности звука в отраженной и падающей волнах:

Коэффициентом поглощения называется отношение интенсивности поглощенного звука к интенсивности звука падающего:

Так как энергия падающей волны частично отражается и частично поглощается, то суммарная интенсивность отраженного и поглощенного звуков равна интенсивности падающего звука, поэтому α + β = 1.

К оэффициенты поглощения и отражения зависят от угла падения звуковых волн на границу раздела двух сред. Законы отражения справедливы для бесконечного препятствия и для случая падения звука на препятствие, размеры которого больше длины волны (если же размеры преграды меньше длины волны, то происходит дифракция звука). Причем при падении лучей на вогнутую поверхность происходит фокусировка отраженного звука (рис. II.9); если лучи падают на выпуклую поверхность, звук рассеивается, т. е. отраженные лучи распространяются во всевозможных направлениях (рис. 11.10). Если угол падения волн на отражающую поверхность равен нулю, то отраженная волна образует с падающей стоячую волну.

При наличии поверхностей, отражающих звук, может возникнуть эхо. Эхо — это такое явление, при котором прямой и отраженный от достаточно удаленной преграды звуки воспринимаются на слух раздельно. Возникает эхо тогда, когда отраженный звук достигает слушателя на 1/15—1/18 с позднее, чем прямой. Очевидно, для того, чтобы эхо воспринималось на слух, громкость отраженного звука должна быть достаточной для обеспечения слышимости.

Рассмотрим теперь падение звука на препятствие, имеющее неровную поверхность, причем размеры неровностей определяются величиной δ (рис. 11.11). Если δ << λ, то неровности поверхности не влияют на распространение звука, т. е. происходит зеркальное отражение; если на поверхность падает пучок параллельных лучей, то отраженные лучи также распространяются параллельно друг другу. При значительных размерах неровностей, когда величина δ соизмерима с длиной волны, или δ > λ, происходит диффузное отражение:

о траженные лучи имеют различные направления при падении на препятствие плоской волны. Диффузное отражение может происходить от неспокойной поверхности моря, от опушки леса. В зрительных залах кинотеатров для акустической обработки используют архитектурно-акустические конструкции или звукорассеивающие панели. Такие конструкции также создают диффузное отражение.

Следует отметить, что отражение и преломление звука происходит при па дении звука на границу раздела газообразных сред, отличающихся акустическим сопротивлением. Например, если звук распространяется в трубе, то при выходе звуковой волны из трубы или при изменении сечения трубы происходит частичное отражение звука. В этом случае изменяется плотность среды, а следовательно, и ее

акустические свойства. При изменении свойств среды звук отражается. То же происходит при распространении звуковых волн в воздухе, если различные слои воздуха имеют различную температуру. Рассеяние звука в этом случае и объясняет тот факт, что ночью в степи или у озера звук распространяется на большие расстояния, чем днем.

Важнейшие линейные и энергетические характеристики звукового поля.

К линейным характеристикам звукового поля в жидкостях и газах относят звуковое давление, смещение частиц среды, скорость колебаний и акустическое сопротивление среды. Основная линейная характеристика звукового поля – звуковое давление.

Определение: Звуковым давлением в жидкостях и газах называют разность между мгновенным значением давления в точке среды при прохождении через нее звуковой волны и статическим давлением в той же точке.

Представляет собой силу, действующую на единицу поверхности. В системе СИ его измеряют в ньютонах на квадратный метр (Н/м2). Эта единица называется Паскалем (Па). В системе CGS звуковое давление измеряют в динах на квадратный сантиметр, ранее эту единицу называли «баром», однако из-за путаницы с подобной единицей, используемой в метеорологии, от названия «бар» отказались.

1 Па = 1 Н/м² = 10 дин/см². (1)

К энергетическим характеристикам звукового поля относится интенсивность звука и плотность энергии. Основная энергетическая характеристика – интенсивность звука.

Определение: Интенсивностью звука или силой звука называют количество энергии, проходящее в секунду через единицу площади, перпендикулярной к направлению распространения волны.

Единицей интенсивности звука является ватт на квадратный метр (Вт/м²) в системе СИ и эрг на квадратный сантиметр в секунду (эрг/см²с) в абсолютной системе CGS единиц.

1 Вт/м² = 10³ эрг/см²с.

ЭНЕРГИЯ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ

Энергия излучателя звука в процессе колебаний передается частицам среды, т. е. переносится звуковыми волнами. Волна переносит звуковую энергию в направлении своего движения. Энергию звукового поля принято характеризовать двумя величинами: интенсивностью звука и плотностью звуковой энергии. Интенсивностью звука называется количество звуковой энергии, переносимое звуковой волной в одну секунду через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения волны. В технической литературе иногда встречается термин «сила звука», но это название неточно, так как рассматриваемая величина характеризует мощность звуковой волны, приходящуюся на единицу площади волнового фронта, что не соответствует понятию «силы» в механике. Интенсивность звука определяет поток энергии и имеет направление. Это величина векторная, она может быть выражена следующим соотношением:

(II.8)

где I — интенсивность звука, Вт/м²; ρ — звуковое давление, П;· с — скорость звука, м/с; ρ — плотность воздуха, кг/м³.

В системе СИ единицей измерения интенсивности звука является 1 Вт/м². Для самых слабых звуков, едва различимых на слух, звуковое давление на частоте 1000 Гц составляет 2 · 10^-5 Па, при этом интенсивность звука равна 10"¹² Вт/м².

Интенсивность звука можно рассматривать как акустическую мощность, приходящуюся на единицу площади волнового фронта.

Если обозначить излучаемую источником шаровой волны звуковую мощность Р_ак и не учитывать происходящих при распространении звука в среде потерь энергии, то интенсивность звука на расстоянии / от излучателя равна:

если звук излучается в пределах угла 4π.

Следовательно, в шаровой волне интенсивность звука обратно пропорциональна квадрату расстояния от излучателя звука. В плоской волне поверхность, по которой происходит распределение звуковой энергии, постоянна. Если также не учитывать потерь энергии в среде, то можно считать, что в плоской волне интенсивность звука не зависит от расстояния до излучателя. Произведение cρ (Формула II.8), определяющее величину интенсивности звука при данном звуковом давлении, называется удельным акустическим сопротивлением. Известно, что отношение амплитуды звукового давления к амплитуде колебательной скорости есть для данной среды величина постоянная, равная произведению ср. Уравнение

аналогично закону Ома для участка электрической цепи. При этом звуковое давление подобно электродвижущей силе, колебательная скорость — току, величина ср — активному электрическому сопротивлению; вследствие этого величина ср и получила название удельного акустического сопротивления. Полное акустическое сопротивление определяется выражением срS, где S — поверхность излучателя. Это сопротивление вызывает необратимый переход части механической энергии источника в излучаемую им звуковую энергию. Чтобы выяснить, как изменяется звуковое давление в шаровой волне с удалением от источника, приравняем друг к другу правые части выражений (II.8) и (II.9) и определим из этого равенства звуковое давление. В результате получим:

В шаровой волне звуковое давление изменяется обратно пропорционально расстоянию от источника звука. В плоской волне при отсутствии потерь энергии в среде звуковое давление не изменяется при удалении от излучателя звука.

Другой характеристикой энергии звукового поля является плотность звуковой энергии. Плотностью звуковой энергии называется величина звуковой энергии, которая содержится в единице объема звукового поля. Это скалярная величина.

В системе СИ единицей измерения плотности звуковой энергии является 1 Дж/м³, обозначается она буквой Е. Этой величиной удобно характеризовать энергию звукового поля, в котором звук распространяется во всевозможных направлениях (например, в закрытом помещении вследствие многократного отражения.)

Выясним соотношение между интенсивностью звука и плотностью звуковой энергии. С этой целью представим в звуковом поле цилиндрический объем (рис. II.4),

Рис.II.4. Схема к выводу соотношения между интенсивностью звука и плотностью звуковой энергии

длина которого численно равна скорости звука с, выраженной в м/с, сечение равно 1 м², а направление оси совпадает с направлением распространения плоской волны. Объем цилиндра численно равен скорости звука. Очевидно, количество энергии в этом объеме составляет произведение плотности звуковой энергии Ε на величину объема, т. е. на скорость звука с: Ее. С другой стороны, в цилиндре содержится количество энергии, которое переносится волной в 1 с через площадь 1 м², перпендикулярную звуковым лучам. Это количество энергии согласно определению равно интенсивности звука. Следовательно:

1 = Ес. (11.12)

Полученное соотношение справедливо не только для плоской, но и для шаровой волны.