§10. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)

Пусть производится п независимых испытаний, в которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вычислять вероятность P_n(k) того, что в п испытаниях событие А появиться k раз по формуле Бернулли затруднительно (при больших п получаются факториалы больших чисел и большие степени вероятностей p и q). В этом случае используют приближенные формулы для определения вероятности. К ним относятся локальная формула Муавра-Лапласа и формула Пуассона. Локальная формула Муавра-Лапласа применима при npq »1 (много больше единицы, например в некоторых учебниках задается npq≥20) и k ≈ np. Эта формула имеет вид:

Здесь - функция Гаусса, таблица значений которой задаются в приложениях учебников по теории вероятностей. Следует заметить, что функция Гаусса является четной, т.е. .

При больших п и малых р (p0,1; npq<10) вероятность P_n(k) приближенно находится следующим образом:

Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:

, т.е. .

Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.

По формуле Бернулли получаем:

Найдем предел этой вероятности при п:

Получаем формулу Пуассона:

Если известны числа  и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона.

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится не менее, чем k₁ и не более, чем k₂ раз (т.е. ) можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

Здесь - функция Лапласа, таблица значений которой приводится в приложениях учебников по теории вероятностей. Причем, и при .

Замечание: в некоторых учебниках функция Лапласа может задаваться как , в этом случае интегральная формула Муавра-Лапласа будет иметь вид: .

Примеры:

1. Вероятность того, что при штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонением от стандарта) постоянна и равна 0,05. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий окажется ровно 40 бракованных.

Решение: По условию задачи n = 1000, p = 0,05, q = 1 – 0,05 = 0,95, k = 40. Тогда, т.к. npq = = 1000·0,05·0,95 = 47,5 >20 и np = 1000·0,05 = 50 имеет один порядок с k = 40, будем использовать локальную формулу Муавра-Лапласа:

, , .

2. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определите вероятность 9 сбоев.

Решение: По условию задачи n = 1000, p = 0,007, q = 1 – 0,007 = 0,993, k = 9. Тогда, т.к. p < 0,1 и npq = = 1000·0,007·0,993 = 6,951 <10, будем для вычисления вероятности использовать формулу Пуассона:

Имеем , тогда .

3. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но и не более 230 раз.

Решение: По условию задачи n = 300, p = 0,75, q = 1 – 0,77 = 0,25, k₁ = 210, k₂ = 230. Для нахождения вероятности воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа. Имеем: . Тогда . Следовательно, .

14