§3. Операции над событиями.

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Определение. Объединением или суммой событий A₁,A₂,…,А_k называется событие A, которое заключается в появление хотя бы одного из событий А_k.

= A₁+A₂+…+A_k

Определение. Пересечением или произведением событий A₁,A₂,…, A_k называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.

= A₁·A₂·…·A_k

Замечание: Если в словесной форме между событиями произносится союз «и», то имеет место произведение событий, а если произносится союз «или», то имеет место сумма событий.

Примеры:

1. В урне находятся 5 красных, 8 зеленых, 4 желтых и 3 черных шара. Наудачу извлекают один шар. Рассмотрим события: А – извлечен цветной (не черный) шар. Очевидно, что событие А наступит, если будет извлечен красный или зеленый или желтый шар, т.е. имеет место сумма событий А = К + З + Ж.

2. Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Рассмотрим событие В: попадут только первый и третий стрелки. Введем обозначения событий: А₁ – первый стрелок попал в мишень, тогда Ā₁ – первый стрелок не попал в мишень (промахнулся), А₂ – второй стрелок попал в мишень, Ā₂ – второй стрелок промахнулся, А₃ – третий стрелок попал в мишень, Ā₃ – третий стрелок промахнулся. Событие В произойдет, если первый стрелок попадет в мишень и второй стрелок промахнется и третий стрелок попадет, т.е. будет иметь место произведение событий: В = А₁· Ā₂· А₃.

§4. Теоремы о вероятности суммы событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Примеры:

1) На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки с разной начинкой: три с мясом, три с яйцом, два с яблоком и два с изюмом. Какова вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется со сладкой начинкой (с яблоком или с изюмом)?

Решение:

Рассмотрим события : А – извлечен пирожок с яблоком;

В – извлечен пирожок с изюмом.

Число всех исходов испытания ( выбор одного пирожка) равно числу пирожков, т.е.

n = 3 + 3 + 2 + 2 = 10; число благоприятных исходов: m_A =2, m_B = 2.

События А и В несовместные; сумма А + В и есть событие, состоящее в выборе сладкого пирожка. По теореме о вероятности сумма двух несовместных событий получим:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 2/10 + 2/10 = 4/10 = 0,4.

2) Из колоды в 36 карт наудачу извлекают одну карту. Найти вероятность того, что это будет карта бубновой масти или туз.

Решение:

Рассмотрим события : А – извлечена карта бубновой масти;

В – извлечен туз.

Вероятности этих событий легко найти по классическому определению, т.к. m_A =9 (в колоде 9 карт бубновой масти), m_B = 4 ( в колоде 4 туза), n = 36 (число всех карт в колоде). Тогда P(A) = 9/39, P(B) = 4/36.

События А и В совместные (т.к. если будет извлечен бубновый туз, то произойдут оба события). Совместное появление этих событий имеет один благоприятный исход – появление бубнового туза, т.е.P(AB) = 1/36. Очевидно, что сумма А + В и есть событие, состоящее в появлении карты бубновой масти или туза. По теореме появления хотя бы одного из двух совместных событий имеем

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 9/36 + 4/36 – 1/36 = 12/36 = 1/3.