Контрольні запитання

1. Назвіть типи поляризації діелектриків. Який фізичний зміст вектора поляризації і вектора електричного зміщення?

2. Дайте можливі означення відносної діелектричної проникності та тангенса кута діелектричних втрат.

3. Чим зумовлені діелектричні втрати енергії змінного електрич-ного поля в полярних діелектриках?

4. Які особливості поляризації полімерних діелектриків?

5. Дайте означення електроємності конденсатора. Поясніть виник-нення “крайового ефекту” в плоскому конденсаторі.

6. В чому полягає особливість процесів в діелектриках у змінних електричних полях та особливості поведінки конденсаторів у них.

7. Чому ємність електролітичного конденсатора є більшою ніж по-вітряного/металопаперового при однакових геометричих розмі-рах?

8. Як змінюється ємність плоского конденсатора при наявності/ відсутності діелектрика між його пластинами. У якому випадку вона є більшою?

Рух носіїв заряду у провідних середовищах. Дослідження ефекту холла у напівпровідниках

Мета роботи: вивчити ефект Холла, дослідити величину електрорушійної сили (ерс) Холла в залежності від сили стру-му через зразок та величини магнітної індукції, визначити сталу Холла та концентрацію носіїв заряду. Ознайомитись із застосуванням ефекту Холла.

Прилади та матеріали: напівпровідниковий зразок відомих геометричних розмірів, електромагніт, вимірювальний блок установки ефекту Холла.

Короткі теоретичні відомості

Рух носіїв заряду у провідних середовищах визначається ба-гатьма факторами, основними з яких є: наявність вільних носіїв, здатних проводити (переносити заряд) їх концентрації N та ефек-тивні маси m^*; рухливість носіїв заряду  в середовищі під дією прикладеної різниці потенціалів U чи напруженості електричного поля E.

Питома електропровідність провідних середовищ визначаєть-ся двома основними факторами: концентрацією вільних носіїв за-ряду N та їх рухливістю ,

, (1)

де e - елементарний заряд носія. Для напівпровідників в (1) N - це концентрації електронів – n і дірок – р у випадку власної провіднос-ті напівпровідника, або ж концентрації тих чи інших носіїв заряду у випадку домішкової провідності напівпровідника. Для напівпровід-ника, що містить донорні домішки, коли основними носіями заряду є негативно (negative) заряджені електрони то N  n (напівпровід-ник n – типу провідності), а для напівпровідника, що містить ак-цепторні домішки, коли основними носіями заряду є позитивно (positive) заряджені дірки то N  р (напівпровідник р – типу провід-ності).

Рухливість носіїв заряду oзначується як відношенння швид-кості дрейфового руху вільних носіїв V_d, тобто руху по напрямку чи проти вектора напруженості електричного поля під дією електрич-ної сили F = qE, до величини напруженості електричного поля E

. (2)

Рухливість носіїв заряду також залежить від механізмів їх розсіяння при зіткненнях з граткою і виражається співвідношенням часу ре-лаксації носіїв заряду  після зіткнень, який, як відомо, визначаєть-ся механізмами розсіювання носіїв заряду, та їх ефективною масою:

, (3)

де дужки ... означають усереднення за енергію носія заряду.

Зауважимо щодо співвідношення (1) для власних напівпровід-ників, або ж в діапазоні їх власної провідності, де носіями заряду є як електрони зони провідності з концентрацією n, так і дірки ва-лентної зони з концентрацією р, тому

, (4)

де n і р - концентрації електронів і дірок (для власного напівпровід-ника n = p = n_i ), а _n і _p – їх рухливості відповідно. У загальному випадку рухливості електронів та дірок у напівпровідниках є різні і не дорівнюють одна одній, а також, як правило, _n  _p. Це зумов-лено відмінністю ефективних мас електронів і дірок де .

До провідних середовищ відносяться метали та напівпровідни-ки. При кімнатній температурі питома електропровідність  металів знаходиться у межах від 10⁴ до 10⁶ (Омсм)^-1, провідні середовища, які називають напівпровідниками, володіють значеннями електро-провідності від 10^-10 до 10⁴ (Омсм)^-1, причому питома електро-провідність напівпровідників значною мірою залежить від темпера-тури, і для них є характерним від’ємне значення температурного коефіцієнта опору. Зауважимо, що питома електропровідність ді-електриків, як “непровідних” середовищ знаходиться у межах - від 10^-20 до 10^-10 (Омсм)^-1.

Експериментальне дослідження ефекту Холла є зручним та до-волі простим методом вивчення руху носіїв електричних зарядів в провідних середовищах. Він дає можливість одержати інформацію про такі важливі характеристики провідних середовищ (металів, на-півпровідників) як: концентрацію носіїв заряду, їх знак (електрони, дірки) та рухливість.

Ефектом Холла називають явище виникнення у твердих про-відниках, по яких протікає струм, вміщених у магнітне поле, елект-ричного поля в напрямі, перпендикулярному до напряму струму й індукції магнітного поля (рис. 1). Це явище, яке відкрив у 1879 р. американський фізик Е.Холл у тонких пластинах золота належить до так званих поперечних гальваномагнітних ефектів. Гальваномаг-нітними називають сукупність явищ, пов’язаних з дією магнітного поля на електричні властивості твердих провідників, по яких проті-кає струм.

Тому розглянемо зразок напівпровідника електронного типу провідності (n-типу), де основними носіями заряду є електрони, в якому протікає електричний струм величиною I і який знаходиться в магнітному полі з індукцією в зразку рівною B, перпендикуляр-ною до напрямку струму (рис. 1).

Рис. 1. Напівпровідник електронного типу провідності (n-типу) у вигляді пара-лелепіпеда по якому протікає струм I поміщений в однорідне магнітне поле з індукцією B, перпендикулярною до напрямку струму. A та С – бічні грані паралелепіпеда; a, b, d – довжина, ширина та товщина зразка відповідно; e, V, F_л – заряд електрона, його дрейфова швидкість руху та сила Лоренца, що діє на нього відповідно; U_X , Е_X – ерс Холла та напруженість поля Холла відповід-но, що виникають між гранями A та С

На електрони, що рухаються в магнітному полі діє сила Ло-ренца. Під дією сили Лоренца (5) електрони, що рухаються у зразку з дрейфовою швидкістю V_d = V відхилятимуться на бічну грань зразка (грань А)

. (5)

На цій грані динамічно, (поки тече струм через зразок і ввімк-нене магнітне поле) нагромаджується від’ємний заряд, а на проти-лежній залишатиметься нескомпенсований додатній. У напрямку, перпендикулярному до сили струму І та індукції В виникне елект-ричне поле з напруженістю Е_X, яке називається полем Холла. На практиці поле Холла оцінюють за різницею потенціалів (напругою), яка виникає і яку вимірюють вольтметром між симетричними точ-ками на бокових поверхнях зразка (гранях А і С). Ця різниця потен-ціалів називається холлівською різницею потенціалів U_X або елек-трорушійною силою Холла (ерс Холла).

Процес динамічного нагромадження носіїв заряду на одному із торців зразка буде продовжуватись до того часу, поки сила Ло-ренца, що діє на носії заряду того чи іншого знаку не зрівно-важиться силою поперечного електричного поля , де b – ширина зразка:

, (6)

. (7)

У цій формулі V_y – швидкість напрямленого переміщення но-сіїв заряду в електричному полі з напруженістю Е_у, так звана дрей-фова швидкість носіїв, що створюють струм І.

З формули (7) маємо, що

, (8)

де, згідно (2), – рухливість електронів, яка, в цілому, характеризує здатність носіїв заряду змінювати свою дрейфову швидкість, при зміні напруженості електричного поля, що зумов-лює їх напрямлене переміщення, на одиницю (В/м) і є мірою їх інертності.

У процесі експерименту вимірюється не поперечне електричне поле E_Х, а ерс Холла U_X

. (9)

Дрейфова швидкість електронів Vy, густина струму j та сила струму І пов’язані наступними співвідношеннями:

, (10)

де n – концентрація носіїв заряду (кількість електронів в одиниці об’єму). Справедливо, що

, (11)

де S – площа поперечного перерізу торця зразка (рис. 1).

Виходячи з (10) та (11) є справедливими наступні співвід-ношення

, (12)

або ж

. (13)

Використовуючи (8), (9), (13) отримаємо:

, (14)

звідки ерс Холла

, (15)

де множник

(16)

носить назву сталої Холла і визначається концентрацією і знаком носіїв заряду у зразку. Для металів концентрація носіїв заряду (електронів) співмірна з концентрацією атомів, що формують мета-лічні зв’язки і не залежить від температури. Тому для них n  10²⁸-10²⁹ м^-3, а стала Холла R_X  10^-10-10^-9 м³/Кл. Для напівпровідників концентрація носіїв експоненційно зростає із зростанням темпера-тури, тому стала Холла залежить від температури. При кімнатних температурах для напівпровідників n  10²¹-10²³ м^-3 і є різною для різних напівпровідників, а R_X  10-10² м³/Кл. Тому (див. формулу 15) ефект Холла краще спостерігати (більша ерс Холла U_X) у напів-провідниках, де є меншою концентрація носіїв заряду.

Формула (15) описує класичний ефект Холла і пов’язує ерс Холла U_X, яка вимірюється експериментально, з макроскопічни-ми параметрами зразка (концентрацією носіїв заряду n, товщиною зразка d) та експерименту (величиною струму через зразок І та ве-личиною магнітної індукції у зразку В). Вона показує, що ерс Холла U_X є пропорційною до величини струму через зразок і величини магнітної індукції у зразку та обернено пропорційна до товщини зразка. Окрім того, ерс Холла U_X , виходячи з означення сталої Хол-ла R_X, є більшою для тих провідних середовищ, у яких концентрація нoсіїв заряду є меншою. Тому зрозуміло, як було вказано вище, що ефект Холла сильніше проявляється у напівпровідниках, де є мен-шою концентрація носіїв заряду і відповідно більші стала R_X та ерс Холла U_X .

Густина струму у зразку, окрім формули (10), може бути пода-на і законом Ома в диференціальній формі

, (17)

де  - питома електропровідність зразка. Розділивши почленно фор-мули (10) та (17) одержимо співвідношення, яке пов’язує сталу Холла R_Х, рухливість носіїв заряду  та питому електропровідність  (18) та (19).

, (18)

. (19)

З формул (18) та (19) видно, що за відомою питомою електро-провідністю і концентрацією носіїв заряду можна визначити їх рух-ливість.

Отже, досліджуючи експериментально ефект Холла у провід-них середовищах, визначають важливі їх мікроскопічні характерис-тики: концентрацію, рухливість і знак носіїв заряду.

Розглянутий ефект Холла, причиною якого є дія на рухомі в магнітному полі заряди сили Лоренца, називається класичним ефек-том Холла. Як випливає із формули (15), для класичного ефекту Холла характерна лінійна залежність ерс Холла від сили струму че-рез зразок I та величини магнітної індукції В у зразку. Однак дос-лідження показують, що в природі є багато речовин, в яких лінійна залежність не виконується. Це свідчить про існування і інших при-чин ефекту Холла, що може бути зрозумілим тільки з точки зору квантової теорії твердого тіла. Для класичнго ефекту Холла вираз для ерс U_X та постійної R_X Холла отримано, виходячи з того, що всі носії заряду мають однакову швидкість руху V_у, яка при цьому не змінюється при русі носіїв заряду у середовищі. Тобто, не врахо-вано, що при русі в реальному провідному середовищі носії заряду вдаряються і розсіюються на домішках, на коливаннях ґратки (акус-тичних та оптичних фононах) при цьому може змінюватись як швидкість, напрям руху так і енергія носіїв.

Тому, для чистих напівпровідників з власною провідністю, ко-ли розсіювання проходить, головним чином, на коливаннях ґратки, для постійної Холла отримується вираз

. (20)

У напівпровідниках при підвищених температурах, що забез-печують власну провідність, в електропровідності беруть участь од-ночасно електрони провідності та дірки. Тоді сталу Холла для них обчислюють через парціальні провідності електронів _n і дірок _p та їхні концентрації n і p відповідно

. (21)

При експериментальному дослідженні ефекту Холла спостері-гаються також деякі інші ефекти, як от: магніторезистивний, тер-момагнітний ефект та ін. Для виключення впливу побічних ефектів на ефект Холла використовують властивості парності цих ефектів, тобто їх незалежність (існування) від напрямку магнітного поля. Тому напругу між холлівськими контактами вимірюють при двох напрямках магнітного поля. Напрям струму через зразок змінюють на протилежний, щоб уникнути, наприклад, недостатньої точності встановлення вихідних холлівських контактів на одній еквіпотен-ціальній поверхні.

Одним із можливих застосувань ефекту Холла є його вико-ристання для вимірювання індукції магнітного поля. Ефект Холла використовують також для вивчення енергетичних спектрів носіїв заряду у металах і напівпровідниках, для контролю за якістю мета-лів та напівпровідників, у вимірювальній та обчислювальній техні-ці, автоматиці та радіоелектроніці.

Із співвідношення (15) випливає, що вимірюючи ерс Холла при визначеному значенні сили струму через зразок I та відомому значенні сталої Холла R (концентрації носіїв заряду у зразку), мож-на визначити індукцію магнітного поля. Такі спеціально виготовле-ні зразки з відомою концентрацією носіїв заряду і для яких прока-лібровано у відомому магнітному полі значення ерс U_X при визна-ченому значенні струму через зразок називаються датчиками Хол-ла.

В якості датчиків Холла, як правило, використовують напів-провідники. Оскільки у напівпровідникових датчиках Холла, кон-центрація носіїв заряду на декілька порядків менша, ніж у металах і, відповідно, у стільки ж разів більша ерс Холла (15), що суттєво полегшує вимірювання.

Так, наприклад, вимірявши значення ерс Холла, що показав датчик Холла, поміщений у певну точку (Z) магнітного поля, мож-на за формулою

, (22)

де, для прикладу, К = 0,067 мТл/мВ – коефіцієнт перетворення дат-чика Холла, обчислити індукцію магнітного поля В_Z для кожного фіксованого положення датчика Холла у магнітному полі.