5 Метрологическое обеспечение экспериментальных данных
Результаты измерений можно представить в следующем виде
, (5.1)
где ∆x – погрешность измерений.
Точно определить величину погрешности невозможно, так как она носит случайный характер. Иначе можно было бы найденную погрешность ввести в результат измерения и получить истинное значение xист. Задачей математической статистики является наилучшая оценка результата xист и нахождение пределов интервала (5.1) по результатам измерений.
Если проведено n измерений величины x, то среднее арифметическое значение принимается за лучшую оценку истинного результата измерений
(5.2)
где xi – результат i-го измерения.
Средняя квадратичная погрешность определяется по формуле
(5.3)
где n – число измерений.
Важно знать, насколько может отличаться от истинного значения x среднее арифметическое, полученное по формуле (5.2) для n повторных равноточных измерений. Из теории видно, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности каждого результата измерений Sn, деленного на корень из числа измерений n
(5.4)
Вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем ∆x обозначим через α. Вероятность α называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от -∆x до +∆x называется доверительным интервалом.
Определим доверительный интервал. Чем большим он будет установлен, тем более вероятно, что xист окажется в этом интервале. Но широкий интервал дает меньшее представление относительно величины xист. При учете только случайных погрешностей и при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности α полуширина доверительного интервала равна
,
(5.5)
где tα,n – коэффициент Стьюдента (таблица 5.1).
Таблица 5.1 – Коэффициент Стьюдента
n |
α |
|||
0,6 |
0,8 |
0,95 |
0,99 |
|
2 |
1,376 |
3,078 |
12,706 |
63,657 |
3 |
1,061 |
1,886 |
4,303 |
9,925 |
4 |
0,978 |
1,638 |
3,182 |
5,841 |
5 |
0,941 |
1,533 |
2,776 |
4,604 |
6 |
0,92 |
1,476 |
2,571 |
4,032 |
7 |
0,906 |
1,44 |
2,447 |
3,707 |
8 |
0,896 |
1,415 |
2,365 |
3,499 |
9 |
0,889 |
1,397 |
2,306 |
3,355 |
10 |
0,883 |
1,383 |
2,262 |
3,25 |
11 |
0,879 |
1,372 |
2,228 |
3,169 |
12 |
0,876 |
1,363 |
2,201 |
3,106 |
13 |
0,873 |
1,356 |
2,179 |
3,055 |
14 |
0,87 |
1,35 |
2,16 |
3,012 |
15 |
0,868 |
1,345 |
2,145 |
2,977 |
16 |
0,866 |
1,341 |
2,131 |
2,947 |
17 |
0,865 |
1,337 |
2,12 |
2,921 |
18 |
0,863 |
1,333 |
2,11 |
2,898 |
19 |
0,862 |
1,33 |
2,101 |
2,878 |
20 |
0,861 |
1,328 |
2,093 |
2,861 |
21 |
0,86 |
1,325 |
2,086 |
2,845 |
22 |
0,859 |
1,323 |
2,08 |
2,831 |
Для окончательной установки границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности ∆xсист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в некоторых случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Суммарная погрешность (абсолютная) определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей
(5.6)
Относительная погрешность определяется как
(5.7)
Выражение (5.6) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине, измеряется в процентах.
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций.
1 Вычисляется среднее значение из n измерений по формуле 5.2.
2 По формуле 5.3 определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического значения.
3 Задается доверительная вероятность α и определяется коэффициент Стьюдента tα,n для заданного α и числа произведенных измерений n по
таблице 5.1.
4 По формуле 5.5 находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность результата измерений).
5 Оценивается относительная погрешность результата измерений по формуле 5.7.
6 Окончательный результат записывается в виде
.
(5.8)