1. Понятие математического программирования
Математическое программирование занимается исследованием детерминированных и одноцелевых задач. Слово "программирование" в данном случае означает "планирование". К математическому программированию относится:
Линейное программирование: нахождение экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.
Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.
Целочисленное программирование: особый случай в задачах линейного и нелинейного программирования, когда на оптимальные решения накладывается условие цело – численности искомых параметров.
Динамическое программирование: для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом.
Теория графов, с помощью которой решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.
Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:
набор констант, характеризующих, например, наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы;
искомые переменные величины, например, количество запланированной к выпуску продукции по всему ассортименту;
максимум или минимум целевой функции, например, запланированной прибыли;
систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств, например, условие того, что расход материала не должен превышать его запас;
требование не отрицательности переменных (если не предусмотрено иное).
Решение практической задачи всегда связано с исследованием, с преобразованием некоторого объекта (материального или информационного) или с управлением им (рисунок 1.1).
Рис. 1.1. Схема моделирования объекта (процесса)
При решении "стандартной" задачи в линейном программировании нужно определить максимум линейной целевой функции
при условиях
Здесь
целевая функция формируется как скалярное
произведение двух векторов. Один из них
— вектор искомых переменных
.
Компонентами другого вектора являются
целевые коэффициенты
.
Условия задачи можно сформулировать
так: "Расход
не
должен превышать имеющиеся ресурсы
".
Вектор расхода
есть
сумма произведений матрицы нормированных
коэффициентов
на
вектор искомых переменных
.
Основной аналитический метод решения задач линейного программирования — это симплексный метод . Он сводится к вычислительной процедуре, основанной на принципе последовательного улучшения решений — перехода от одной базисной точки к другой, для которой значение целевой функции больше. Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число шагов. Геометрическая интерпретация метода состоит в последовательном движении по вершинам симплекса (n-мерного тетраэдра). Симплекс-метод послужил исходным пунктом для разработки целого семейства алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных выпуклых задач оптимизации.