5.2. Максимизация целевой функции

Для нахождения точки, в которой функция достигнет своего максимального значения, необходимо перемещать прямую уровня по направлению вектора до пересечения этой прямой с граничной точкой области допустимых решений. На нашем рисунке — это точка В.

Найдем координаты точки . Данная точка расположена на пересечении двух прямых (1) и (2), поэтому, чтобы найти ее координаты необходимо решить следующую систему уравнений:

;

.

Легко убедиться, что оптимальное решение этой задачи задается в вершине выпуклого четырехугольника координатами

; .

Значит, чтобы получить максимальную прибыль

у.е. ,

фирме необходимо выпускать в неделю триста деталей модели и двести деталей модели .

6. Решение задач лп средствами ms Excel.

Введем немного другую формулировку нашей задачи. Предположим что для изготовления модели и модели нужно сырье разных видов. Например, нам понадобится несколько видов сплавов: Сплав 1, Сплав 2, Сплав 3, и к примеру два вида крепежных механизмов. Тогда задачей ЛП станет определить количество заказываемых видов сырья на предприятии с механическим цехом, обеспечивающую максимальную выручку на основе заданных объемов ресурсов и нормативов затрат на первично обработанное сырье (требует дополнительную обработку) и вторично обработанное сырье (полуфабрикат), представленных в таблице 1. Условной выручкой будем считать процентное содержание сырья из общей стоимости модели, то есть в зависимости от содержания определенного вида сырья в детали зависит общая стоимость детали.

(таблица 1.)

Ресурсы	Плановый фонд ресурсов	Нормативные затраты ресурсов на 100 деталей
		Первичное сырье	Вторичное сырье
			Сплав 1	Сплав 2	Крепеж вида 2	Вторые прочие
Сплав 1, м2	40000	4,0	8,0	-	-	3,8
Сплав 2, м2	25000	2,5	-	10	-	-
Сплав 3, м2	27000	3,2	2,0	3,0	-	4,6
Крепеж вида 1, шт	20000	2,1	2,6	2,3	2,2	-
Крепеж вида 2, шт.	45000	6,5	-	-	21	-
Выручка, у.е.		1,3	2,0	1,5	0,3	1,7

1. Выполним построение математической модели.

Обозначим, х₂, х₃, х₄, х₅ – количество видов сырья, соответствующего вида (100шт.): х₁ - первичное сырье; х₂ – вторичное сырье Сплав 1; х₃ - Сплав 2; х₄ - Крепеж вида 2 ; х₅ - вторичное прочее сырье.

Запишем целевую функцию, максимизирующая выручку:

F(X) = 1,3х₁ + 2х₂ + 1,5х₃ + 0,3х₄ + 1,7х₅  max

Запишем ограничения:

4х₁ + 8х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 3,8х₅  40000 (ограничение по ресурсу «Сплав 1»);

2,5х₁ + 0х₂ + 10х₃ + 0х₄ + 0х₅  25000 (ограничение по ресурсу «Сплав 2»);

3,2х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 0х₄ + 4,6х₅  27000 (ограничение по ресурсу «Сплав 3»);

2,1х₁ + 2,6х₂ + 2,3х₃ + 2,2х₄ + 0х₅  20000 (ограничение по ресурсу «Крепеж вида 1, шт.»);

6,5х₁ + 0х₂ + 0х₃ + 21х₄ + 0х₅  45000 (ограничение по ресурсу «Крепеж вида 2, шт.»);

х_1,2,3,4,5  0 (условие не отрицательности количества сырья)

В результате получаем следующую экономико-математическую модель:

F (X) = 1,3х₁ + 2х₂ + 1,5х₃ + 0,3х₄ + 1,7х₅  max

4х₁ + 8х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 3,8х₅  40000

2,5х₁ + 0х₂ + 10х₃ + 0х₄ + 0х₅  25000

3,2х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 0х₄ + 4,6х₅  27000

2,1х₁ + 2,6х₂ + 2,3х₃ + 2,2х₄ + 0х₅  20000

6,5х₁ + 0х₂ + 0х₃ + 21х₄ + 0х₅  45000

х_1,2,3,4,5  0

2.Создаем документ Microsoft Excel и вводим исходные данные задачи, как показано на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. – Исходные данные задачи линейного программирования

3. Вводим зависимость для целевой функции

Для этого ставим курсор в ячейку G4, затем нажимаем на кнопку «Мастер функций», которая находится на панели инструментов. Окно мастера функций показано на рисунке 2.2.Выбираем категорию «Математические», Функцию «СУММПРОИЗВ» и нажимаем OK. Окно для ввода аргументов функции показано на рисунке 2.3.

Рисунок 2.2. – Окно «Мастера функций»

В появившемся окне «Аргументы функции», в строку «Массив 1» вводим B$3:F$3, а в строку «Массив 2» вводим B4:F4 и нажимаем ОK. В ячейку G4 введена функция.

Рисунок 2.3. – Окно для ввода аргументов функции

4. Вводим зависимости для ограничений. Для этого повторяем процесс, описанный в п.3 для каждого из ограничений. В результате в ячейке G7 должна появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B7:F7). В ячейке G8 должна появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B8:F8), в ячейке G9 должна появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B9:F9), в ячейке G10 должна появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B10:F10), а в ячейке G11 должна появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B11:F11)

Далее в строке Меню выбираем Сервис Поиск решения. В появившемся окне «Поиск решения» назначаем целевую функцию. Для этого ставим курсор в строку «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки $G$4, равной «Максимальному значению» курсор в строку «Изменяя ячейки» вводим адреса искомых переменных $B$3:$F$3. Окно «Поиск решения» показано на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Окно «Поиск решения»

Нажимаем на кнопку «Добавить», появляется окно «Добавление ограничения», представленного на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Окно «Добавление ограничения»

В строке «Ссылка на ячейку» вводим адрес $G$7 вводим знак ограничения в строке «Ограничение» вводим адрес $I$7 нажимаем на кнопку «Добавить». Вводим остальные ограничения по этому же алгоритму. После введения последнего ограничения нажимаем кнопку OK. На экране появляется окно «Поиск решения» с введенными условиями, как показано на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Окно «Поиск решения» с введенными ограничениями

5. Вводим параметры для решения ЗЛП.

Для этого в окне «Поиск решения» нажимаем на кнопку «Параметры». Появляется окно «Параметры поиска решения». Устанавливаем в окнах «Линейная модель» (это обеспечивает применение симплекс-метода) и «Неотрицательные значения» , как показано на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 – Окно «Параметров поиска решения»

Далее нажимаем кнопку OK и на экране появляется окно «Поиск решения». Нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными ячейками B3:F3 и ячейка G4 с максимальным значением целевой функции, как показано на рисунке 2.6.

Рисунок 2.7 – Окно «Результаты поиска решения»

Нажимаем кнопку OK.

Полученное решение означает, что для максимизации выручки необходимо:

Х₁ = 0; Х₂ = 3763,70; Х₃ = 2500; Х₄ = 2029,27; Х₅ = 2602,74;

Максимальная выручка составляет: 16310,83 у.е.

Ответ: Максимальная выручка составляет 16310,83 у.е.

При этом, структура выпуска блюд на предприятии общественного питания:

Первичное сырье – 0 шт.;

Сплав 1 - 3763,70*100 шт.;

Сплав 2 - 2500*100 шт.;

Сплав 3 - 2029,27*100 шт.;

Вторые прочее сырье - 2602,74*100 шт.;

Нулевое значение заказа первичного сырья показывает, что при их выпуске общая выручка будет снижаться.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета. Для этого в диалоговом окне “Результаты поиска решения” следует указать тип отчета из списка «Тип отчета». Выберем опции "Результаты" и "Устойчивость". Отчеты будут созданы на отдельных рабочих листах (рис 2.8 - 2.9):

рис 2.8. Отчет по результатам

рис 2.9. Отчет по устойчивости