Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур на плоскости.

понятие

Рассмотрим в пространстве плоскость и пересекающую ее прямую . Каждой точке пространства, не лежащей на прямой , поставим в соответствие точку пересечения с плоскостью прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Будем называть точку параллельной проекцией точки на плоскость . При этом называется проектирующей прямой, а --- плоскостью проекций. Параллельной проекцией точки , лежащей на плоскости , назовем саму точку .

Параллельной проекцией фигуры называется множество параллельных проекций всех точек этой фигуры. Отображение пространства в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие ее параллельная проекция на некоторую плоскость, называется параллельным проектированием. Если проектирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций, параллельное проектирование называется ортогональным.

С помощью ортогонального проектирования строятся изображения пространственных фигур на плоскости.

Основные свойства параллельного проектирования:

1) прямая, не параллельная проектирующей, переходит в прямую;

2) параллельные прямые, переходят в параллельные прямые, если они сами и их плоскость не параллельны проектирущей прямой;

3) сохраняются отношения отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.

Редактор [Редактор]

Математически верное определение

Пусть --- некоторая плоскость, а --- пересекающая эту плоскость прямая. Отметим произвольную точку пространства. Если точка не лежит на прямой , то проведем через прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью . Если же --- точка прямой , то обозначим через точку пересечения прямой с плоскостью . Точка называется проекцией точки на плоскость при проектировании параллельно прямой . Обычно предполагается, что плоскость и прямая заданы, поэтому точку кратко называют параллельной проекцией точки .

Пусть --- плоская или пространственная фигура. Параллельные проекции всех точек фигуры образуют некоторую фигуру на плоскости . Фигура называется параллельной проекцией фигуры . Говорят также, что фигура получена из фигуры параллельным проектированием.

Выберем некоторую плоскость и назовём ее плоскостью изображений. Затем возьмем прямую , пересекающую плоскость , и спроектируем данную фигуру на плоскость параллельно прямой . Полученную плоскую фигуру или любую подобную ей фигуру на плоскости будем называть изображением фигуры .

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Определения из учебников

А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения состоит в следующем. Берем произвольную прямую , пересекающую плоскость чертежа , проводим через произвольную точку фигуры прямую, параллельную . Точка пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки . Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры.

В черчении применяется ортогональное проектирование, т.е. параллельное проектирование прямыми, перпендикулярными плоскости проекции.

В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]

Пусть дана плоскость и прямая , пересекающая . Возьмем произвольную точку ; через нее проведем прямую , параллельную прямой . Прямая пересечет в некоторой точке . Полученную таким образом точку назовем проекцией точки на плоскость при проектировании параллельно прямой (короче, точка --- параллельная проекция точки ). Параллельной проекцией фигуры назовем множество параллельных проекций всех точек данной фигуры.

В стереометрии изображением фигуры (оригинала) будем называть любую фигуру, подобную параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]

Пусть --- некоторая плоскость, а --- пересекающая эту плоскость прямая. Отметим произвольную точку пространства. Если точка не лежит на прямой , то проведем через прямую, параллельную прямой , и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью . Если же --- точка прямой , то обозначим через точку пересечения прямой с плоскостью . Точка называется проекцией точки на плоскость при проектировании параллельно прямой . Обычно предполагается, что плоскость и прямая заданы, поэтому точку кратко называют параллельной проекцией точки .

Пусть --- плоская или пространственная фигура. Параллельные проекции всех точек фигуры образуют некоторую фигуру на плоскости . Фигура называется параллельной проекцией фигуры . Говорят также, что фигура получена из фигуры параллельным проектированием.

Выберем некоторую плоскость и назовём ее плоскостью изображений. Затем возьмем прямую , пересекающую плоскость , и спроектируем данную фигуру на плоскость параллельно прямой . Полученную плоскую фигуру или любую подобную ей фигуру на плоскости будем называть изображением фигуры .

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]

Пусть даны плоскость и пересекающая ее прямая . Возмем в пространстве произвольную точку . В том случае, когда точка не лежит на , через проведем прямую . Прямая пересекает плоскость в некоторой точке . Эта точка называется проекцией (на плоскость ) точки при проектировании параллельно прямой . Если же точка лежит на прямой , то ее параллельной проекцией называется точка, в которой пересекает . О прямой говорят, что она задает направление проектирования.

А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Учебник для 10 класса школ с углубленным изучением математики [АлександровВернерРыжик10у]

Пусть даны плоскость и пересекающая ее прямая . Возмем в пространстве произвольную точку . В том случае, когда точка не лежит на , через проводим прямую , параллельную прямой . Прямая пересекает плоскость в некоторой точке . Эта точка называется проекцией (на плоскость ) точки при проектировании параллельно прямой или, короче, параллельной проекцией точки . Если точка лежит на прямой , то ее параллельной проекцией называется точка, в которой пересекает .

Плоскость назывется плоскостью проекций. О прямой говорят, что она задает направление проектирования.

Проекцией фигуры называется множество проекций всех ее точек. Отображение, сопоставляющее каждой точке фигуры ее параллельную проекцию , называется параллельным проектированием фигуры .

И. М. Смирнова. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений (гуманитарный профиль) [Смирнова10-11гум]

Пусть --- произвольная плоскость, --- пересекающая ее прямая. Через некоторую точку , не принадлежащую прямой , проведем прямую, параллельную прямой . Точка пересечения этой прямой с плоскостью называется параллельной проекцией точки на плоскость в направлении прямой . Обозначим ее . Если точка принадлежит прямой , то параллельной проекцией на плоскость считается точка пересечения прямой с плоскостью .

Таким образом, каждой точке пространства сопоставляется ее проекция на плоскость . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость в направлении прямой .

Пусть --- некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость образуют фигуру , которая называется параллельной проекцией фигуры на плоскость в направлении прямой . Говорят также, что фигура получена из фигуры параллельным проектированием.

Для изображения пространственных фигур используют параллельную проекцию. Плоскость, на которую проектируется фигура, называется плоскостью изображений, а сама проекция фигуры --- изображением.

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10 – 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений [СмирноваСмирнов10-11]

Пусть --- некоторая плоскость, --- пересекающая ее прямая. Через некоторую точку , не принадлежвщую прямой , проведем прямую, параллельную прямой . Точка пересечения этой прямой с плоскостью называется параллельной проекцией точки на плоскость в направлении прямой . Обозначим ее . Если точка принадлежит прямой , то параллельной проекцией на плоскость считается точка пересечения прямой с плоскостью .

Таким образом, каждой точке пространства сопоставляется ее проекция на плоскость . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость в направлении прямой .

Пусть --- некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость образуют фигуру , которая называется параллельной проекцией фигуры на плоскость в направлении прямой . Говорят также, что фигура получена из фигуры параллельным проектированием.

Для изображения пространственных фигур используют параллельную проекцию. Плоскость, на которую проектируется фигура, называется плоскостью изображений, а сама проекция фигуры --- изображением.

Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]

В пространстве выбирается плоскость , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения, и прямая , пересекающая эту плоскость. Пусть --- произвольная точка пространства. Через эту точку проведем прямую , параллельную . Точка пересечения прямой с плоскостью называется параллельной проекцией точки на плоскость в направлении прямой . Если --- точка плоскости , то совпадает с .

При этом часто пользуются обозначением .

Прямую и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью.

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом.

И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений [Шарыгин10-11]

Пусть в пространстве заданы прямая и плоскость , не параллельные друг другу. (Параллельной) проекцией точки на плоскость в направлении мы будем называть точку пересечения с прямой, проходящей через и параллельной .

(Ортогональной) проекцией точки на плоскость называется точка пересечения с плоскостью прямой, проходящей через и перпендикулярной .

(Параллельной) проекцией фигуры на плоскость назывется фигура этой плоскости, образованная (параллельными) проекциями всех точек фигуры .

А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник [Киселев10-11]

1) Ортогональной (или прямоугольной) проекцией какой-нибудь точки на данную плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из взятой точки.

2) Ортогональной проекцией какой-нибудь линии на плоскость называется геометрическое место проекций всех точек этой плоскости.

Для краткости речи вместо "ортогональная проекция" будем говорить просто "проекция".

ЗАДАЧИ!!!!!!!!!!!!!