§2. Біртекті емес мүшелері вектор квазикөпмүшелік болатын сызықтық жүйенің дара шешімін табу әдісі.
Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес жүйе қарастыралық:
мұндағы
белгісіз функциялар,
нақты сандар,
дәрежелі көпмүшелік, ал
сан.
(1) біртекті емес жүйенің жалпы шешімі осы жүйенің дара шешімі мен сәйкес біртекті жүйенің жалпы шешімін қосындысына тең болады.
Сызықтық біртекті жүйе мына түрде жазылады:
(2) біртекті жүйені векторлық түрде жазсақ
болар
еді, мұндағы
нақты матрица.
(3) ші жүйенің іргелі матрицасы матрицалық экспоненциал түрінде болады:
Себебі
Олай болса (3) біртекті жүйенің жалпы шешімі былайша жазылады:
мұндағы
кез-келген тұрақты вектор. Егер (3) жүйеге
бастапқы шарт қоятын болсақ
онда жалпы шешімнен
,
(3),
(5)
есептің
матрицалық
түрдегі жалпы шешімі болар еді. Комплекс
сандар өрісінде
матрицасын Жордан матрицасына келтіруге
болады.
матрицасын Жордан матрицасына келтіретін
матрицаны
деп белгілеп алайық.Жордан матрицасы
мен оның ұяшықтарын
және
деп белгілейік. Мұндағы
матрицасының меншікті сандары,
санына сәйкес келетін, реті
болатын Жордан матрицасының ұяшықтары.
Сондықтан
Егер
матрицасының бағаналарын
деп белгілесек, онда олар
топқа бөлінеді, әрбір топта біреуі
матрицасының меншікті векторы болады
да, қалғандары тіреме векторлар болады.
Мысалы, бірінші топтың векторлары
болады
да олар мынадай векторлық жүйені
қанағаттандырады:
Мұнда
меншікті вектор,
тіркеме векторлар. Басқа топтардың
векторлары да осы векторлық жүйені
қанағаттандырады. Барлығы
меншікті,
жіктелген вектор болады. Іргелі матрица
мынандай түрде болады:
Іргелі матрицаны ерекше емес тұрақты матрицаға көбейтсек тағыды іргелі матрица шығады. Олай болса іргелі матрица ретінде:
матрицасын алуға болады.
Іргелі
жүйеге кіретін шешім де
топқа бөлінеді. Әрбір
топта,
,
шешімдердің саны
ға тең болады,
және олар мынадай түрде болады:
Жалпы шешім іргелі жүйеге кіретін бүкіл шешімнің тұрақты коэффициентті сызықты комбинациясы болады.
Енді сызықтық біртекті емес, оң жағы квазиполином болатын жүйе қарастырайық:
мұндағы
нақты,
тұрақты матрица;
сан,
дәрежелі
көпмүшеліктерінен
тұратын полиномиалдық вектор.
(7)
жүйенің дара шешімін жүйені бір теңдеуге
келтіру арқылы табуға болады. Ол үшін
дифференциялдық оператор
енгіземіз және осы жүйені компоненттері
арқылы:
түрінде жазамыз.
Бұны
белгісіздеріне байланысты алгебралық
жүйе ретінде қарастырайық. Жүйенің
негізгі анықтауышын
деп белгілеп алайық, мұндағы
-
ретті бірлік матрица,
операторлық
көпмүшелік (
операторына қатысты көпмүшелік ) болады.
Олар
көбейту және қосу амалдарына қатысты
кәдімгі көпмүшеліктердің қасиеттерін
қанағаттандырады.
матрицасының
элементтерін
деп, ал оның алгебралық толықтауышын
деп белгілеп алайық. Жүйенің әрбір
теңдеуін
ға көбейтіп
бойынша қоссақ:
жүйесі
алынады. Демек
векторының әрбір
компоненті коэффициенттері тұрақты,
оң жағы квазикөпмүшелік болатын
теңдеуді қанағаттандыруы керек. Оның
сипаттаушы теңдеуі (2) жүйенің сипаттаушы
теңдеуімен тең болады.
(7) жүйенің сипаттаушы теңдеуінің
сәйкес
еселі
түбірлері болсын.
матрицасының рангісін
деп белгілеп алайық. Онда
және
түбірлеріне
матрицасының канондық түрдегі Жордан
матрицасының
ұяшығы
сәйкес келеді. Жордан матрицасындағы
ұяшықтар саны
-ге
тең болады. Ұяшықтардың ретінің қосындысы
матрицасының ретін береді, яғни
.
Еске сала кететін жағдай, (8) теңдеудің
түбірлері комплекс болса,
матрицасын жордан түріне келтіретін
матрица да комплекс болады:
.
Сонымен
(7) жүйеге мынандай ауыстыру енгізейік:
мұндағы
жаңа
белгісіз вектор-функция.
деп
белгілеу енгізіп алсақ, онда
(10) немесе (7) жүйелердің дара шешімдері санының (8) сипаттаушы теңдеудің түбірі болу-болмауына, болса қанша еселі екеніне байланысты:
Екі жағдай қарастырайық:
1 - ЖАҒДАЙ. саны (8) сипаттаушы теңдеудің түбірі емес, яғни
(10) векторлық теңдеудің дара шешімін полиномдық вектор түрінде іздейміз:
мұндағы
дәрежесі
Оны
(10)
теңдеуге қойып және алынған теңдеуді
ретке
дейін дифференциалдап,
мынадай
векторлық теңдеулер жүйесін аламыз:
Бұл
векторлық теңдеулерден тұратын жүйені
соңынан бастап шешу арқылы
вектор-функциясын
мына түрде табамыз:
(11)функцияны (9) теңдікке қою арқылы (7) жүйенің дара шешімін аламыз:
Алынған
дара шешімді біртекті жүйенің жалпы
шешіміне қосу арқылы
жүйенің жалпы шешімін аламыз.
2
- ЖАҒДАЙ.
саны (8) сипаттаушы теңдеудің
еселі түбірі болсын. Анықтық үшін
деп алайық. Бұл түбірге анықтық үшін
жордан матрицасының бірінші ұяшығы
сәйкес келсін,
.
Егер
санына бір емес бірнеше ұяшық сәйкес
келетін болса, айтылғанды сол ұяшықтардың
әрбіреуіне қайталаймыз. Жалпы алғанда
санына сәйкес келетін
ұяшықтар саны
тең болады, мұнда
.
Мынадай белгілеу енгізейік:
мұндағы
реті
болатын
бірлік матрица. (10)
теңдеу екі векторлық теңдеуге жіктеледі:
Екінші теңдеу (10) теңдеу сияқты шешіледі. Енді бірінші теңдеуді қарастырайық. Компоненті бойынша жазып алайық:
Бұл
жүйені соңғы теңдеуден бастап шешетін
болсақ, онда:
мұндағы
дәрежелі
вектор-полином. (11) формула бойынша
вектор-полиномын тауып алып, сосын
векторын құрып, оны (9) қойып (7) жүйенің
дара шешімін аламыз, ол мына түрде
болады:
Мұндағы
компоненттерінің ішінде
дәрежелі көпмүшелік бар болатын
полиномиалдық вектор. Басқа компоненттерінің
дәрежесі осы саннан кіші болады. Табылған
дара шешіммен біртекті жүйенің жалпы
шешімін қосу арқылы берілген (7) жүйенің
жалпы шешімін аламыз.
МЫСАЛДАР. Төмендегі жүйелердің дара шешімдерін табу керек.
1.
-саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес сондықтан:
Жүйенің дара шешімі:
2.
-саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес сондықтан:
Жүйенің дара шешімі:
3.
-
матрицасын жордан түріне келтіретін
матрицасын
табамыз:
-саны
сипаттаушы теңдеудің
бір
рет түбірі болғандықтан,
екі теңдеуге жіктеледі:
Жүйенің дара шешімі:
4.
Бұл есеп екі жүйеге жіктеледі:
-саны сипаттаушы теңдеудің еселі түбірі болғандықтан, екі теңдеуге жіктеледі:
в)
-саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес, сондықтан:
