Вариант 1
18
Точка
лежит на отрезке
.
Прямая, проходящая через точку
,
касается окружности с диаметром
в точке
и второй раз пересекает окружность с
диаметром
в точке
.
Продолжение отрезка
пересекает окружность с диаметром
в точке
.
а) Докажите, что прямые
и
параллельны.
б) Найдите
площадь треугольника
,
если
и
.
Решение.
|
на окружностях с диаметрами и соответственно, поэтому
.
Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , следовательно, прямые и параллельны.
б) Пусть
— центр окружности с диаметром
.
Тогда прямые
и
перпендикулярны. Учитывая, что прямые
и
перпендикулярны, получаем, что прямые
и
параллельны. Обозначим
через
.
Треугольник
подобен треугольнику
с коэффициентом 5, поэтому
.
Опустим перпендикуляр
из точки
на прямую
.
Так как четырёхугольник
— прямоугольник,
,
.
По теореме Пифагора
,
откуда
.
Получаем, что
.
Поскольку прямые и параллельны,
.
Значит, треугольники
и
равновелики. Следовательно,
.
Ответ: б) 30
.
ВАРИАНТ 2
18
и
.
Ответ:
б) 
.
Пример 1.
Комментарий. Кристально ясная, и чаще всего встречавшаяся ситуация для ненулевых работ: а) верно, б) никак.
Оценка: 1 балл
Пример 2.
Комментарий. Грамотно обоснованное решение сложной задачи. Оценка 3 балла
Пример 3.
Комментарий. Верно выполнена часть (а). В (б) тоже практически всё верно, но взят отрезок ОВ вместо ВС и ответ вдвое меньше. По критериям– 2 балла.
Оценка: 2 балла.
Контрольные вопросы.
1)
В части а) для доказательства
параллельности прямых приведён примерно
такой текст «если
,
то углы… и…равны, как накрест лежащие.
А они действительно равны, так как …
Ч.Т.Д». В Части б) радиус спутан с
диаметром, ответ в два раза больше, а
вместо обратной теоремы Пифагора есть
ссылка просто на теорему Пифагора.
Эксперт поставил 1 балл, обосновав это
как использовании второй позиции в
критериях на 1 балл.
Согласны ли
Вы с этой оценкой?
2) В части а) равенство треугольников выведено из равенства сторон и углов, не прилежащих к этой стороне. Вычисления в п. б) верны, но обоснования содержат явные логические неточности типа приведенной выше в вопросе 1. Эксперт утверждает, что это – не критериальный случай: нельзя поставить ни 3, ни 2, ни 1 балл, а 0 баллов при верном ответе ставить невозможно. Согласны ли Вы с экспертом?
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.
Заполните таблицу своих оценок в баллах
Пример |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Оценка |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.
Оценка эксперта________
Пример 5.
Оценка эксперта________
Пример 6.
Оценка эксперта________
Пример 7.
Оценка эксперта________
Пример 8.
Оценка эксперта________
Пример 9.
Оценка эксперта________
Пример 10.
Оценка эксперта________
Задание 17 (=19 в 2015)
Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.
Содержание критерия, задание 17(=19) |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано |
2 |
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
0 |
Максимальный балл |
3 |
Устоявшихся традиций как в самих в типах текстовых задач экономического содержания, так и в оценивании выполнения этих заданий к настоящему времени не имеется по простой причине: эти задания появились в КИМ ЕГЭ только в прошлом году. Тем не менее, в предложенных критериях выделенные в них этапы решения вполне соответствуют привычной схеме решения (и проверки решений) текстовых задач. А именно, сначала «перевод» сюжета на математический язык, затем исследование полученного «перевода» в уже математических терминах, получение ответа (ответов) и, если необходимо, их сверка с первоначальным текстом задачи.
Основная рекомендация при выставлении 1 балла – проверять не только наличие уравнений, функций, схем, алгоритмов, но и наличие явного пути, плана (быть может, и не реализованного далее) их исследования или использования. Если по этому пути автору удаётся продвинуться до ответа, то 2 балла выставляется в двух типичных случаях. Либо пропущены существенные обоснования прохождения этого пути, либо на этом пути допущены вычислительный просчёт или описка. Подчёркиваем, наличие ответа, получение финального результата есть необходимое условие выставления оценки 2 балла. Отметим, что участники могут использовать разные модели: функциональные, алгебраические, геометрические, числовые, алгоритмические (содержащие пошаговое описание изменений ситуации; например, табличные) и т.п.