Модуль 4. Тренинги вариант 1

15

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а)  , ; , ; О , ; , ;

Ответ: б)  ; ; .

16

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б)  .

17

Решите неравенство . Ответ: ; .

18

Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если и . Ответ: б) 30.

19

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Ответ: 80,5 млн рублей.

20

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Ответ: .

21

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Вариант 2, егэ-2015

15

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а)  , ; , ; От , ; , ; Ответ: б)  ; ; .

16

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б)  .

17

Решите неравенство .

Ответ: ; .

18

Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если и .

Ответ: б)  .

19

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,4 млн рублей?

Ответ: 26,35 млн рублей.

20

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

 Ответ: .

21

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

Ответ: а) например, 2736; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).