Вариант 3

1. а) Решите уравнение

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

2. В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой и плоскостью .

3. Решите неравенство .

4. Диагонали и четырёхугольника , вписанного в окружность, пересекаются в точке , причём .

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника , где — центр окружности, вписанной в треугольник , если дополнительно известно, что — диаметр описанной около четырёхугольника окружности, , а .

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?

Вариант 4

1. а) Решите уравнение

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью .

3. Решите неравенство .

4. Две окружности касаются внутренним образом в точке , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке . Хорды и пересекают меньшую окружность в точках и соответственно, а отрезки и пересекаются в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите , если , а радиус малой окружности равен .

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите , если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.