2. Велик ли разброс данных относительно среднего значения?

Для ответа на этот вопрос применяются меры изменчивости (рассеивания, разброса). Они позволяют судить о степени однородности полученного множества, о его компактности, и косвенно – о надёжности получаемых результатов. Наиболее используемые в психологических исследованиях: размах, среднее отклонение, дисперсия, стандартное отклонение, квартильное отклонение.

- размах (Р) – это интервал между максимальным и минимальным значениями признака. Определяется легко, но чувствителен к случайностям, особенно при малом числе данных. Пример: (0, 2, 3, 5, 8; Р=8); (-0,2, 1,0, 1,4, 2,0; Р=2,2)

- среднее отклонение (МД) – это среднее арифметическое разницы (по модулю) между каждым значением в выборке и её средним:

МД=∑d/N,

где d=│X­M│; где М – среднее выборки; Х – конкретное значение; N – число значений.

Множество всех конкретных отклонений от среднего характеризует изменчивость данных, но, если их не взять по модулю, то их сумма будет равна нулю, и мы не получим информации об их изменчивости. МД показывает степень скученности данных вокруг среднего (иногда вместо М берут Ме или Мо).

- дисперсия (Д) (от лат. – рассыпанный).

Д=∑d²/(N-1) или σ_х²=∑(х_i-х_ср)²*(m_i / N-1),

где m_i – количество появлений значений х_i при N наблюдениях.

Для больших выборок (N≥30) в знаменателе просто N.

- стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение. В психологии принято обозначать эту величину σ (сигма):

σ = √∑(x_i – x)²/n-1

- коэффициент ковариации является относительной характеристикой рассеивания и рассчитывается по формуле:

V= (σ_х / х_ср)*100%

- квартильное отклонение (Q). На практике нам часто важно узнать не точку, а интервал значений, следовательно, ось накопленной частоты (если все значения разместить на оси) разбивается на равное количество интервалов. Это S-образная кривая (ось накопленной частоты), где М – генеральная средняя. Функция этой кривой выглядит символически следующим образом:

F(Х) = (1/σ√2π*)∫((-(t-µ)²)/ 2σ²)dt

Точки на оси накопленной частоты, делящие её в установленной пропорции, называются квантилями (отсюда название квантильной стандартизации тестов). Среди квантилей выделяют квартили, квинтили, децили, процентили. Например, 3 квартиля (Q₁, Q₂, Q₃) делят выборку на 4 равные части (кварты) таким образом, что 25% испытуемых ниже Q₁, 50% ниже Q₂, 75% ниже Q₃, 99 процентилей делят выборку на 100 равных частей (процентов) и т.д.

- квартиль первая вычисляется по формуле: Q₁=(R₁+R_n/2)/2, т.е. полусумма первого и последнего рангов первой – левой от медианы - половины ряда;

- квартиль третья: Q₃=(R_n/2+R_n)/2, т.е. полусумма первого и последнего рангов второй – правой от медианы – середины ряда.

Полученным значениям рангов соответствуют определённые величины в исходном ряду данных. Для характеристики Распределения вычисляется среднее квартильное отклонение:

Q=(Х¹(Q₃)-Х²(Q₁))/2,

где Х¹ и Х² – значения ряда, соответствующие третьей и первой квартили.

Понятно, что при симметричном распределении Q₂ и Ме будут совпадать. А вообще точка на оси, соответствующая Q₂ определяется после отделения 50% всех значений выборки.