7 Сызықтық турлендіру

7.1 Сызықтық түрлендіру және оның матрицасы

     немесе                                                         (1) теңдеуімен анықталатын,   векторын  векторына  түрлендіру  жазықтықты сызықты түрлендіру деп, ал   түрлендіру матрицасы деп аталады.

Егер  болса, онда бұл түрлендіру   және  орталарын сәйкесінше  және  векторларына аударады. (1)- түрлендіру координаттық пішінде төмендегі формуламен анықталады:

                                                  .                                            (2)

 

                                                                                 (3)

 формулаларымен  анықталатын түрлендіру, кеңістікті сызықты түрлендіру деп аталады. Бұл түрлендірудің матрицалық пішіні ,мұндағы

                            

Кез келген сызықты түрлендірудің негізгі қасиеттері төмендегіше анықталады:

                               

                          

Егер болса, онда сызықты түрлендіруі нұқсансыз түрлендіру деп аталады. Кез келген нұқсансыз түрлендіруіне кері жалғыз  түрлендіруі бар болады. Бұл түрлендіру  векторын  векторына аударады әрі кері түрлендірудің  матрицасы  матрицасына кері болады.

Егер  векторы  векторына сызықты түрлендіруі арқылы аударылса, онда осы екі және  сызықты түрлендірулерінің нәтижесі жалғыз  түрлендіруінің нәтижесімен бірдей болады:

                                   

 

Сызықтық түрлендірудің қарапайым  мысалдары:

1) Кеңістіктің (немесе жазықтықтың)  векторына нөлдік векторды

 сәйкестендіретін түрлендіру нөлдік түрлендіру деп аталады:

                                               , мұндағы нөлдік түрлендірудің матрицасы 0 – нөлдік матрица.

2) Кеңістіктің (немесе жазықтықтың)  векторына осы  векторын    

сәйкестендіретін түрлендіру тепе-тең түрлендіру деп аталады:

                                                 , мұндағы тепе-тең түрлендірудің матрицасы - бірлік матрица.

1-        мысал.

   және  

сызықтық  түрлендірулерінің қосындысының түрлендіру матрицасын табу керек.

Шешуі: Берілген  және түрлендірулерінің сәйкес матрицалары

                   және .

Сызықтық түрлендірулердің қосындысының анықтамасы бойынша , сондықтан қосындының түрлендіруінің матрицасы берілген түрлендірулердің қос матрицаларының қосындысына тең болады:

                

2-мысал.   және  түрлендірулері берілген, мұндағы  және .  векторын  векторына аударатын  түрлендіру матрицасын табу керек.

Шешуі:  векторының мәнін бірінші теңдеуге қою арқылы  аламыз, яғни

                             .

          Сонымен, және  сызықтық түрлендірулерінің нәтижесі бір

                                 

  түрлендіруінің матрицасына тең болады.

 

3-мысал.

                   

сызық түрлендіруінің нұқсансыз болатындығын көрсетіп, оның кері түрлендіруін табу керек.

 Шешуі:  Берілген  түрлендіруінің  матрицасы  нұқсансыз болады, өйткені оның анықтауышы

                           .

Сондықтан оның кері түрлендіруі .  кері матрицасын есептейміз:

                 

Яғни іздеп отырған кері түрлендіруіміз

                                 

 

 78.   және  сызықтық түрлендірулері берілсін.

  векторын  векторына ауыстыратын түрлендірудің матрицасын табу керек.

 79. түрлендіруінің нұқсансыз болатындығын көрсетіп, оның кері түрлендіруін табу керек. Мұндағы