6 Сызықтық теңдеулер жүйесі

6.1 Крамердің формулалары

                                  

                                                                          (1)

 

сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін.

Белгісіздердің алдында тұрған коэффициенттерден құралған - ретті анықтауыш  , жүйенің анықтауышы деп аталады. Жүйенің анықтауышына байланысты төмендегі жағдайлардың бірі орын алады:

а)   Егер (1)-жүйенің анықтауышы нөлге тең болмаса, онда жүйенің жалғыз түбірі бар болып, оны Крамер формулалары арқылы анықтауға болады:

                                                                  (2)

Мұндағы  - ретті    анықтауыштары анықтауышының -тік жолын  бос мүшелерімен ауыстыру арқылы алынады.

б)  егер  болып, болмағанда бір     болса, онда

(1)-жүйе үйлесімсіз болады;

в) егер  және     болса, онда (1)-жүйенің түбірі болмайды  немесе ақырсыз көп түбірі бар болады.

 

1-мысал.   жүйесін шешу керек.

Шешуі:    Жүйенің анықтауышы

                                сондықтан оның түбірі Крамер формулалары арқылы анықталады:

                                және  

мұндағы    сондықтан .

        Берілген жүйедегі теңдеулер  жазықтығындағы түзулер болғандықтан,    олардың қиылысу нүктесін береді.

2-мысал.  ; жүйесін шешу керек.

Шешуі:     Жүйенің анықтауышы ал          болғандықтан,  жүйе үйлесімсіз, яғни геометриялық мағынасы бойынша  берілген түзулер параллель болады.

3-мысал.   жүйесін шешу керек.

Шешуі.      Мұндағы жүйенің екі теңдеуі де бір түзуді анықтайды, сондықтан жүйенің шешімі осы түзудің бойында жатқан кез келген нүктенің координаталары болады, яғни жүйенің шексіз көп шешімі бар:

 болғанда 

4-мысал.   жүйесін шешу керек.

Шешуі:

 

                ,

 

 болғандықтан, жүйенің жалғыз түбірі бар. Оны Крамер формуласымен жазамыз:

 

       

 

Жүйелерді шешу керек:

59.                               60.

 

                          

                            

                   

 

 

 

 

6.2 Жүйені кері матрицаның көмегімен шешу

(1)- жүйені матрицалық теңдеу түрінде жазуға болады:

                                         

мұндағы - белгісіздердің жанындағы коэффициенттердің матрицасы, ал   және  - сәйкесінше бос мүшелерден және белгісіздерден құралған бағаналар. Егер   болса, онда (3)-теңдеудің екі жағын да сол жағынан   матрицасына көбейту арқылы оның шешуін матрицалық пішінде алуға болады:                              

                                                                                                       (4) 

               

5-мысал.     

Шешуі:            болғандықтан  

яғни     

6-мысал. 

 

Шешуі:  

                            

     Сондықтан

 

              ,

 яғни  

 

              Келесі  жүйелерді кері матрицаның көмегімен шешу керек:

                              

                      

                                 

 

6.3 Біртекті сызықтық теңдеулердің жүйелері

Егер (1)- жүйенің барлық бос мүшелері  болса, онда ол біртекті жүйе деп аталады. Оның матрицалық теңдеуінің түрі

                                  мұндағы 0 – нөлдік бағана                             (5)                                                               

.     Біртекті жүйенің әр уақытта нөлдік түбірі болатындықтан  ол үйлесімді жүйе.

Егер жүйенің анықтауышы болса, онда нөлдік түбір оның жалғыз түбірі болады.  (5)- жүйенің нөлге тең емес түбірлері болу үшін оның анықтауышы  болу керек.

Егер (5)- жүйенің нөлге тең емес бір түбірі бар болса, онда оның ақырсыз көп түбірі бар болады. Егер  және  болса, онда кез келген  үшін .

Бізге үш белгісізі бар үш теңдеуден тұратын біртекті жүйе берілсе, онда төмендегі жағдайлардың бірі орындалады:

а) егер , онда оның жалғыз нөлдік  түбірі бар;

б) егер , бірақ оның екінші ретті минорларының бірі нөлге тең емес болса, онда жүйенің бір теңдеуі қалған екі теңдеудің салдары болғандықтан, ол жүйе ақырсыз көп түбірі бар үш белгісізі бар екі теңдеуге келеді;

в) егер  және оның барлық екінші ретті минорлары да нөлге тең болса, онда жүйені үш белгісізі бар бір теңдеу түрінде жазуға болады. Сондықтан берілген жүйенің нөлге тең емес ақырсыз көп түбірлері болады.

 

7-мысал. 

                   біртекті  жүйені шешу керек.

Шешуі: Жүйенің анықтауышын есептейміз:

           

Сондықтан жүйенің жалғыз нөлдік түбірі бар: 

 

 

 8-мысал.

                жүйесінің шешімін табу керек.

 Шешуі:  Бұл жүйенің анықтауышы

                сондықтан жүйенің нөлге тең емес түбірлері бар. Алғашқы екі жатық жолда жататын  миноры нөлге тең емес болғандықтан, жүйені үш белгісізі бар екі теңдеу түрінде жазуға болады:

                                       

 деп алып, жүйені    түрінде жазуға болады, бұдан

 яғни жүйенің шешімі . Мұндағы .

 

9-мысал.        жүйесінің шешімін табу керек.

Шешуі:  Бұл жерде жүйенің анықтауышы және оның барлық 2-ретті минорлары нөлге тең, яғни бұл жүйде бір теңдеу ғана тәуелсіз қалған екеуі оған пропорционал болады. Мысалы, бірінші теңдеуден -ті  және  арқылы өрнектеп, берілген жүйенің шешімін аламыз. Шешімнің жалпы түрі төмендегіше жазылады:

                

                   мұндағы  және - кез келген нақты сан.

 

Төмендегі біртекті жүйелердің барлық түбірлерін табу керек:

  

                          

 

    

6.4   Жалпы жағдай. Үйлесімділіктің шарты

 

 белгісізі бар  теңдеуден тұратын жүйе берілсін

 

                                            ,                                                          (6)

 

 мұндағы  - жүйенің матрицасы,

ал           - жүйенің кеңейтілген матрицасы.

 

Жүйені шешу барысында екі жағдайболуы мүмкін:

1)    матрицасының рангы  кеңейтілген  матрицаның рангы -дан кем болады, яғни  болғанда, жүйе үйлесімсіз және түбірі болмайды.

2)      болғанда жүйенің түбірі бар болады, әрі  болғанда, жүйенің жалғыз түбірі  болғанда, жүйенің ақырсыз көп түбірі бар болып, келесі сұлба бойынша анықталады:

а)  матрицасынан реті -ге тең миноры бөлініп алынады;

б) белгісіздердің алдындағы коэффициенттері  минорының құрамына кіретін теңдеулерден тұратын жүйе негізгі жүйеден бөлініп алынады;

в) коэффициенттері  минорының құрамына кірмейтін  айнымалыларын кез келген нақты мән қабылдайды деп алып, алынған жүйені Крамер ережесімен шешеміз.

         10-мысал. 

       жүйесінің үйлесімді болатындығын анықтау керек.

 

Шешуі:   және 

                

 

Бұдан , яғни жүйе үйлесімді

 

 

 

11-мысал.

      жүйесінің үйлесімді болатындығын анықтап, үйлесімді

болса түбірін табу керек.

Шешуі:

   , бұдан  екендігін көреміз,

яғни жүйе үйлесімді әрі жалғыз түбірі бар. Оны төмендегіше Гаусс тәсілімен шығаруға болады:  соңғы матрицаның 1- бағанасын -қа, 2-бағанасын -ке , 3- бағанасын -ке көбейтіп бос мүшелерімен теңестірсек

                   - жүйесі шығады.

Үшінші теңдеуден  екінші теңдеуге -тің мәнін қойсақ,  , ; ендігі жерде пен -тің мәндерін бірінші теңдеуге қойсақ

                                  

Яғни жүйенің жалғыз түбірі бар: 

 

 

12-мысал.

                                      жүйесін шешу керек.

Шешуі:  Берілген жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз:

                              

Жүйенің матрицасының рангымен кеңейтілген матрицаның рангы оның қатарларының санынан аспайтыны анық, яғни  Екінші жағынан матрицаның жоғары сол бұрышында орналасқан екінші ретті минор

                                         

яғни жүйенің рангы . Кеңейтілген матрицаны төмендегіше түрлендіреміз: үшінші қатарға екінші қатарды қосамыз, одан бірінші қатарды екіге көбейтіп алып тастаймыз; осылайша төртінші қатарға екі еселенген екінші қатарды қосып, одан бірінші қатарды үшке көбейтіп алып тастаймыз. Сонда матрицамыз

                                        түріне келеді, бұдан соңғы екі теңдеудің алғашқы екеуінің сызықтық комбинациясы болатындығын көреміз әрі  сондықтан жүйенің ақырсыз көп шешімі болады.

Жүйенің алғашқы екі теңдеуінен тұратын жаңа жүйе құрып

 минорының құрамына кірмейтіндіктен,  белгісіздерін теңдіктің оң жағына көшіреміз:              

 

Алынған жүйені Крамер ережесімен шешеміз:

 

Алынған шешім жүйенің жалпы шешімі деп аталады.

 

Төмендегі жүйелердің үйлесімдігін тексеру керек:

76.                   

 

 

 

      в)            

 

 

77.             Жүйелерді шешу керек:

а)