5.3 Матрицалардың дәрежесі. Матрицалардың көпмүшелері.

Матрицаның бүтін оң дәрежесі төмендегі теңдеумен анықталады

                         және.

Мұнда,  формуласымен есептелінеді.

Егер көпмүшелік

                                 берілсе, онда  матрицасының көпмүшелігі деп

                                 

матрицасын аламыз.

Кез келген  матрицасының көпмүшеліктері үшін

                               

 теңдігі орындалады.

Егер  болса, онда  матрицасы көпмүшеліктің түбірі деп аталады.

 

6-мысал.

                                берілген. Табу керек 

Шешуі:

 

7-мысал.

 берілген. Табу керек 

        

Шешуі:

яғни 

8-мысал.   көпмүшелігі берілген.

 матрицасының көпмүшелігін табу керек.

Шешуі:            матрицасы төмендегіше анықталады.

  

9-мысал.  матрицасының  көпмүшелігінің түбірі болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:                        

Яғни  матрицасы  көпмүшелігінің түбірі.

 

52. Төмендегі матрицалар үшін  табу керек:

 б) в) .

53.  Табу керек егер:

 

 

 

5.3 Кері матрица

 матрицасы  матрицасына кері матрица деп аталады, егер .  матрицасының кері матрицасы болу үшін   болуы     керек. Кері матрица төмендегі формуламен анықталады

                                  ,                                        (7)

мұндағы - алгебралық толықтауыштар.

Кері матрицаның көмегімен

                                                                                  (8)

түріндегі матрицалық теңдеулерді шешуге болады. Теңдеуді  сол жағынан -ге көбейту арқылы оның түбірін төмендегі түрде алуға болады:

                                                                                                        (9)

Қасиеттері

10-мысал.  матрицасына кері  матрицасын табу керек.

Шешуі:                  

                             .

Сондықтан           

 

11-мысал.  немесе  матрицалық теңдеуін шешу керек.

Шешуі: 10-мысалдан . Сондықтан  

 

54.     матрицалық  теңдеуін шешу керек.

 

55.     Төмендегі матрицалардың кері матрицаларын табу керек:

 

                     

56. Төмендегі матрицалық теңдеулерді шешу керек:

              

            және  егер 

57.  Егер  болса, онда  болатындығын көрсету керек.

                        

5.4 Тікбұрышты матрицалар және оларды түрлендіру

          жатық және  тік жолдан тұратын тікбұрышты сандар кестесі  өлшемді тікбұрышты матрица деп аталады:

                                                                                  (11)

 матрицасының элементарлық түрлендірулері деп келесі шараларды айтады:

1) кезкелген қатарды  санына көбейту;

2) параллель екі қатарды ауыстыру;

3) қатардың элементтерін соған параллель болатын қатардың сәйкес элементтерін  санына көбейтіп қосу.

Элементарлық түрлендірулердің көмегімен кез келген  матрицасын арнайы түрге келтіруге болады:

                                                                            

Бас диогоналдың бойында тұрған  бір сандары  матрицасын  матрицасына алып келу тәсіліне байланысты болмайды жәнематрицасының  рангы деп аталады.

Бір-бірінен элементарлық түрлендірулер арқылы алынатын матрицалар эквивалентті деп аталып,  белгісімен жалғанады. Эквивалентті матрицалардың рангы тең болады.

 

13-мысал.  Келесі матрицаның рангын табу керек

                                           

Шешуі:  Бірінші  жатық жолды (-1)-ге  көбейтіп, екінші жатық жолға, содан кейін бірінші жатық жолды (-2)-ге көбейтіп, үшінші жатық жолға қоссақ

                                       .

Енді екінші жатық жолды (-3)-ке көбейтіп үшінші жатық жолға қосамыз. Сонда

                    ,

яғни  берілген матрицаның рангы  .

58. Төмендегі матрицалардың рангын табу керек: