5 Матрицалар

5.1 Матрицаларға сызықтық  амалдар қолдану. Транспонирлеу.

 өлшемді квадраттық матрица деп  жатық және  тік жолда орналаласқан  саннан тұратын  кестесін айтамыз:

                                                                           (1)

 

 элементінің бірінші  индексі жатық жолдың нөмірін, екінші  индексі тік жолдың (бағананың) нөмірін көрсетеді.

 диагоналы  матрицасының негізгі, ал диагоналы қосалқы диагоналдары деп аталады.

Егер олардың барлық сәйкес элементтері тең болса, реттері бірдей мен матрицалары тең болады, яғни  .

Матрицаларға сызықтық амалдар қолдануды оларды алгебралық қосу, санға көбейту деп түсінеміз

                       

  Матрицаларды қосу мен оларды санға көбейтудің қасиеттері:

                                                                              (2)

Тек нөлдерден тұратын О матрицасын нөлдік матрица деп айтамыз. Ол үшін .

 матрицасының жатық жолдарын сәйкес сол нөмірлі тік жолдарға айналдыру немесе керісінше тік жолдарды сәйкес жатық жолдарға айналдыру амалын транспонирлеу деп атап,  арқылы белгілейміз. Мысалы, егер

                        онда .

Транспонирлеу амалының қасиеттері:

                                                          (3)

Негізгі диоганалының бойында жатпайтын элементтердің барлығы нөлге тең болатын матрицаны диоганалдық  матрица деп айтамыз.

матрицасы симметриялы деп аталады, егер 

-ретті  матрицасының элементтерінен құралған анықтауыш  арқылы белгіленеді.

1-мысал.    матрицалары берілген. Табу керек             .

Шешуі:       сондықтан

                       ,    

       және        .

Табылған С матрицасы 2-ретті диагоналдық матрица болып табылады.

2-мысал.    болғанда,  матрицасы симметриялы болатындығын көрсету керек.

Шешуі:

                         

 

Алынған матрицасы симметриялы, өйткені  .

3-мысал. Кез келген  матрицасы үшін  матрицасы симметриялы болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:   яғни  симметриялы матрица.

 

47.      болғандағы  матрицасын табу керек.

48.          болғандағы    матрицасын табу керек.

                  

5.2 Матрицалардың көбейтіндісі

Реттері бірдей  матрицасының матрицасына көбейтіндісі  төмендегіше анықталады: оның элементтері -табу үшін  матрицасының

 -жатық жолының элементтерін  матрицасының тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосу қажет, яғни

                                                               (4)

     Қасиеттері

                                                                                         (5)

 

мұндағы    - бірлік матрица.

6)  .                                                  (6) 

Жалпы жағдайда .

Ескерту. а) жатық жолдан  бағанадан тұратын матрицалар  ретті матрицалар деп аталады.

б) Кез келген  және  матрицаларын көбейтуге болмайды.

Оларды көбейту үшін алғашқы көбейткіштің бағаналарының саны екінші көбейткіштің жатық жолдарының санына  тең болу керек.

 

4-мысал.

      Табу керек  мен 

 

Шешуі:

                         

 

5-мысал.

 берілген. Мүмкін болса  мен  табу керек.

Шешуі:   матрицасы 2 тік жолдан, ал матрицасы 3 жатық жолдан тұратындықтан, -ны -ға көбейтуге болмайды. матрицасы екі тік жолдан, ал  екі жатық жолдан тұратындықтан, олардың көбейтіндісі

 

.

 

49. берілген. Табу керек .

 

50. Төмендегі матрицаларды көбейту керек:

         

 

51. Табу керек , егер

                            .