4.1 Векторлық көбейтінді

    және  векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын үшінші  векторын айтамыз:

1)  , мұндағы  бұрышы    және -ның арасындағы бұрыш;

2)  векторы,   және  векторларының әрқайсысымен тікбұрыш жасайды;

3)   векторының бағыты, оның ұшынан қарағанда  векторын  векторына кіші бұрыш бойынша бұру сағат бағытына қарсы бағытталады

(5-сурет).

 

 

               

 Касиеттері:

 1)  ;

 2) ;

 3)  ;

 4)   нөлге тең емес  және  векторларының векторлық көбейтіндісі нөлге тең болса, онда  және  векторлары коллинеарлы векторлар деп аталады. Дербес жағдайда кез келген  векторы үшін болады.

 5)    Егер  мен  коллинеарлы емес болса, онда олардың векторлық көбейтіндісінің модулі сол векторларға салынған параллелограмның ауданына тең болады (5-сурет).

 

         Механикалық мағынасы:

Егер     күші нүктесіне әсер ететін болса, онда бұл күштің  нүктесіне қарағандағы моменті -деп  мен -тің векторлық көбейтіндісін айтамыз:

                                                                                             (8)

Дербес жағдайда координаттың бас нүктесіне қарағандағы моменті мұндағы  - күш әсер ететін нүктенің радиус векторы.

Егер    және    болса, онда

                                                .                                          (9)

 

4-мысал. ,, векторлары  шартын қанағаттандырады.  болатындығын дәлелдеу керек.

 Шешуі.  теңдігінің -ға векторлық көбейтіндісін анықтаймыз:

Бұдан                     

Дәл осылайша  болатындығын дәлелдеуге болады.

5-мысал.      күші   нүктесіне әсер етсін. Осы күштің нүктесімен салыстырғандағы моментін табу керек.

Шешуі:         векторын анықтаймыз:

                                 

(8) және (9)- формулалар арқылы

                 .

6-мысал.  Төбелері  және  нүктелері болатын үшбұрыштың ауданын табу керек.

Шешуі:  үшбұрышының ауданы, қабырғалары  және  векторы болатын параллелограмның ауданының жарымына тең болатындықтан 

                                            .

               

    және  векторларын табамыз:

                    

    Олардың векторлық көбейтіндісі

     

     

Сондықтан     квадрат бірлік.

7-мысал.     векторлары берілген. Табу керек   және   .

Шешуі:        

                              

 

 

    Осылайша  

 

             

 

Бұдан  болатындығын көреміз.

 

38.      өрнегін ықшамдау керек.

39.        және  векторлары берілген. Табу керек             

40. Төбелері   нүктелері болатын үшбұрыш берілген. Оның ауданын табу керек.

41. күші  нүктесіне әсер етсін.Осы күштің координаттың бас нүктесіне қарағандағы моментін табу керек.

           42. нүктесіне әсер ететін үш күш берілген: . Осы күштерге сай әсер ететін күштің  нүктесіне қарағандағы моментін анықтау керек.

 

 

 

4.3 Үш вектордың аралас көбейтіндісі

Үш вектордың аралас көбейтіндісі  деп олардың векторлы – скалярлық көбейтіндісін айтады:

                                                                                               (10) 

 Егер     болса, онда        векторлары компланарлы векторлар деп аталады.

Егер компланарлы емес   векторларын бір нүктеден шығатындай етіп орналастырсақ, онда олардың аралас көбейтіндісінің модулі, негізгі үш өлшемі осы векторлардың ұзындығы болатын параллелепипедтің көлемін береді ( 6 Cурет) .                            

        Егер    векторлары өздерінің координаталарымен берілсе, онда

                                                                                (11)

 

8-мысал.     , ,  векторларының компланарлы  болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:

    болғандықтан ,және    векторлары компланарлы.

9-мысал.  Төбелері  нүктелері болатын тетраэдрдің көлемін табу керек.

Шешуі: Алғаш   векторларын тауып аламыз.  тетраэдрадасының көлемі  болатындығы белгілі. ,,векторлары арқылы құралатын параллелепипедтің биіктігімен тетраэдрдің биіктіктері тең, ал табанының ауданы екі есе үлкен болатындығын ескерсек

                               

яғни    болғандықтан,

                              

   Сонымен          .

43. Төмендегі векторлар компланар бола ма, әлде болмай ма?

    1) ,  ,  

    2) 

44.  және  нүктелерінің бір жазықтықтың бойында жататындығын дәлелдеу керек.

45. Негізгі өлшемдері , ,  векторларының ұзындығы болатын параллелепипедтің көлемін табу керек.

46.  Тетраэдрдің төбелері  берілген.  төбесінен  жағына жүргізілген  биіктігін табу керек.