3.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу

 нүктесі және нүктелерінің арасындағы кесіндіні  етіп бөлсін. Бұл жағдайда нүктесінің  радиус векторы  нүктелерінің  радиус векторлары арқылы төмендегі формуламен өрнектеледі:

                                                                                                    (9)

Осы теңдеуден

                                                               (10)

Дербес жағдайда, егер нүктесі  кесіндісінің ортасында жатса, онда            әрі                                                                               (9')

 

                                                                   (10')

5-мысал.   координат жазықтығы  және  нүктелерінің арасындағы кесіндіні қандай қатынаста бөліп тұрғанын анықтау керек.

Шешуі:     кесіндісі  жазықтығын  нүктесінде бөлсін. 10-формула бойынша және нүктелерінің аппликаталарын қойсақ

                яғни   

28.    кесіндісі  нүктелерінің көмегімен теңдей бес бөлікке бөлінген.және нүктелерінің координаталары белгілі. Қалған  нүктелерін табу керек.

29.       және нүктелері берілген.  үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесін анықтау керек.

 

3.4 Бағыттаушы косинустар

  векторы берілсін.  векторының орты деп осы вектормен бағыттас ұзындығы бірге тең  векторын айтамыз. Ол

                                                                               (11)

формуласымен анықталады.

 түзуі координат өстерімен сәйкесінше     бұрыштарын жасасын. Осы түзудің бағыттаушы косинустары деп жоғарыдағы бұрыштардың косинустарын айтады:        Егер    түзуінің бағыты  бірлік векторымен берілсе, онда :

 

                                                                            (12)

Бағыттаушы косинустар бір-бірімен төмендегі формуламен байланысты.

                                                                               (13)

Егер  түзуінің бағыты  векторымен берілсе, онда оның орты табылып, 12-формуламен салыстыру арқылы

               (14)

формулалары алынады.

6-мысал.      векторының ортын және оның бағыттаушы косинустарын табу  керек.

Шешуі:       векторының ұзындығын  табамыз:                                                          

яғни,     (11) -формула бойынша

 

.

 бірлік векторының координаталары берілген  векторының бағыттаушы косинустары болатындықтан:

                           

7-мысал.    векторы координата өстерімен  сүйір бұрыш жасайды.  болғандағы    векторының координаталарын табу керек.

Шешуі:  Алғаш (13)-теңдеуден  бұрышын табамыз:

 

.

Есептің шарты бойынша сүйір бұрыш болғандықтан,  Сондықтан  Яғни     сондықтан    немесе  

30.     векторымен берілген  түзуінің бағыттаушы векторларын табу керек, мұндағы  және  .

31.    түзуі координат өстерімен төмендегідей бұрыштар құрай алама?  а)  ; б) ?

32.       векторының ортын табу керек.

33.      түзуі координат өстерімен теңдей сүйір бұрыш құрайды. Осы түзудің бойында жатқан вектордың ортын табу керек.

 

4. Векторлардың көбейтіндісі

4.1 Скалярлық көбейтінді

 және  векторларының скалярлық көбейтіндісі  деп осы векторлардың ұзындықтарын олардың арасындағы  бұрышына көбейткенде шығатын санды айтады:

                                                                                               (1)

  Қасиеттері

 1) ;

 2) ;

 3) ;

 4)  және  векторлары нөлдік векторлар болмағанда,     болса, онда бұл векторлар перпендикуляр болады. Егер  болса, онда олардың арасындағы бұрыш сүйір, егер болса, онда  доғал болады;

 5)  векторының скалярлық квадраты оның ұзындығының квадратына тең, яғни . Соңғы қасиеттен

                               .                                                                          (2)

 (1)-формуладан

                          .                                                                      (3)        

          Геометриялық мағынасы:

 векторының  векторының бағытына түсірілген проекциясы

                                                                                                      (4)

формуласымен анықталады.

        

 

 

Механикалық мағынасы:

 күшінің  векторына скалярлық көбейтіндісі осы күштің әсерінен материалдық нүктенің  векторының бойында орын ауыстырғандағы жұмысына тең болады, яғни

                                                                                                        (5)

Скалярлық көбейтіндінің анықтамасын пайдаланып,  орттарының көбейтіндісінің кестесін алуға болады:

                         (6)

Егер векторлар өздерінің координаталарымен берілсе , , онда бұл векторлардың скалярлық көбейтіндісі

                               .                                                   (7)

1-мысал.  және  векторларының арасындағы бұрыш  тең.  болғандағы    векторының  ұзындығын табу керек.

Шешуі:     векторының  ұзындығын  (2)-формуласымен табуға болады:

                          

Яғни  Осыдан  .

2-мысал.    Материалдық нүктеге    күштері әсер етсін. Осы күштерге сай әсер ететін  күшін анықтап, осы күштің әсерінен материалдық нүктенің  -дан  -ға жылжығандағы істелінетін жұмысты анықтау керек.

Шешуі:   мен  күштеріне тең болатын  күшін тауып аламыз:

 ,  орын ауыстыру векторы         

(5)-формула бойынша  істелінген жұмыс .

3-мысал. және  векторлары берілген.  векторының  векторының бағытына түсірілген проекциясын табу керек.

Шешуі:   Алғаш   векторының координаталарын анықтаймыз:

(4)-формула бойынша .

 

34. Бір-бірімен перпендикуляр болатын  және  векторлары   векторымен  бұрыш жасасын  әрі  болсын. Табу керек:

  1)   2).

35.  Төбелері  және  нүктелері болатын төртбұрыш берілген. Оның диогоналдары перпендикуляр болатынын дәлелдеу керек.

36.  Төбелері   және  нүктелері болатын ұшбұрыш берілген. Оның  төбесіндегі ішкі бұрышы -ді табу керек.

37.   және  векторлары берілген.  векторының  векторының бағытына түсірілген проекциясын табу керек.