3.1 Нүктенің координаталары

           Кеңістікте тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі ұзындықты өлшеу үшін масштаб бірлігінің және О нүктесінде қиылысатын бір-бірімен перпендикуляр үш өстің берілуімен анықталады.Біріншісі ( абсцисс өсі, екіншісі  ордината өсі, үшіншісі аппликата өсі , ал О нүктесі деп аталады. Координаттық өстердің орны сәйкесінше осы (,, өстерімен бағыттас ,, бірлік векторлары арқылы анықталады. Бұл векторлар базистік векторлар деп аталады.

Кеңістікте А нүктесі берілсін (4 Сурет)

Оның өсіне проекциясын  арқылы белгілейік.  нүктесінің абсциссасы  деп  векторының ұзындығы, егер  векторы  векторымен бағыттас болса, оң таңбамен, ал егер қарсы бағытта болса, онда теріс таңбамен алынады. Осылайша  нүктесін   және   өстеріне проекциялау арқылы сәйкесінше ордината  және апликата  алуға болады.

Сонымен кеңістіктегі әрбір  нүктесіне тек бір ғана сандары сәйкестендіріледі.

Координаталар жүйесі оң деп аталады, егер  өсінің ұшынан қарағанда өсінен өсіне айналдырғандағы кіші бұрыш сағат бағытына қарсы болса; теріс деп аталады, егер бағыттас болса, 4- суретте оң координаталар жүйесі бейнеленген.

 координата жазықтықтары кеңістікті октанталар деп аталатын сегіз бөлікке бөледі.

1-мысал.   Барлық координаттың жазықтықтармен жанасатын әрі     3- октантада орналасқан, радиусы  болатын шардың центрін анықтау керек.

Шешуі:  Егер шардың центрін   деп белгілеп алсақ,  онда бұл нүктенің  координаттық жазықтығына дейінгі қашықтығы   векторының ұзындығына (4 Cурет), яғни оның абсциссаның модуліне тең болады. Осылайша,  нүктесінің  жазықтығына дейінгі қашықтығы  ал  нүктесінің  жазықтығына дейінгі қашықтығы  тең болады.

Есептің шарты бойынша бұл қашықтықтар шардың радиусына тең болғандықтан  3-октантада  болғандықтан        (-5,-5,5).

22.(3,0,0),нүктелері координат жүйесінде қалай орналасқан?

23.  нүктесіне симметриялы болатын нүктелердің координаталарын табу керек: 1)  жазықтығына қарағанда, 2) жазықтығына қарағанда, 3)  өсіне қарағанда, 4) координат жүйесінің бас нүктесіне қарағанда.

24.    Қабырғалары координат өстерінің бойында жататын ұзындығы 5-ке тең 5-октантада орналасқан кубтың төбелерінің координаталарын табу керек.

 

3.2 Вектордың координаталары

       

 векторының  координат өстеріндегі проекциялары  оның координаталары деп аталып,   деп жазылады.  векторының координаталары оның орталарға жіктелгендегі коэффициенттері болады:

                                

                                                                                    (1)

 

 Координаттың басында  нүктесіне бағытталған  векторы нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Оның координат өстеріндегі проекциялары нүктесінің координаталарына тең, яғни

                           

                                                                                              (2)

 

  Егер және  нүктелері координаталары арқылы берілсе, онда  векторының координаталары төмендегі формуламен табылады:                            

                                                                                 (3)

Векторларды қосқанда (алғанда) олардың координаталары қосылады (алынады), векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға көбейтіледі, яғни егер және  болса,онда

                                                          (4)

                                                                                 (5)

Егер  және  векторлары коллинеарлы болcа, онда . Коллинеарлы векторлардың сәйкес координаталары пропорционал болады:

                                                                                              (6)

 векторының ұзындығы                                (7)

формуласымен анықталады.

 және  нүктелерінің қашықтығы

                                                           (8)

формуласымен анықталады.

           

  2-мысал.       және нүктелерінің бір түзудің бойында жататындығын дәлелдеу керек.

 Шешуі: Ол үшін  және векторларының коллинеарлы болатындығын дәлелдесек болады.

Бұдан      болатындығын көреміз. Яғни , және нүктелері бір түзудің бойында жатады.

3-мысал.              және -ң қандай мәндерінде  және векторлары коллинеарлы болады?

Шешуі:  және  векторларының координаталары пропорционал болуы керек:   .  Осыдан =2,

=-1,5.  және -ң осы мәндерінде  және  векторлары коллинеарлы болады.

4-мысал.    және      нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан , әрі өсінде жататын нүктені табу керек.

Шешуі:    Іздеп отырған нүктесінің координатасы .

Оның және нүктелеріне дейінгі қашықтықтары:

                 

                  .

Есептің шарты бойынша  яғни  немесе    

     25.  және  нүктелері берілген. -ң қандай мәндерінде С нүктесі  түзуінің бойында жатады.

     26.  және  нүктелері трапецияның төбелері болатындығын тексеру керек.

     27. және   нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан әрі  өсінде жататын нүктені табу керек.