1.2 N ретті анықтауыш және оның қасиеттері

                                                              

          Жоғарыда қарастырылған анықтауыштың қасиеттері кез келген ретті анықтауыш үшін де орындалады. Оларды есептеу үшін анықтауыштың 5  және 6 - қасиеттерін пайдаланып ретін төмендетуге болады. Осы тәсілді қайталай отырып жоғары ретті анықтауыштың ретін 3 немесе 2-ретті анықтауыштарға алып келуге болады.

   

6- мысал.      Төмендегі 4- ретті анықтауышты есептеу керек.

                                

Шешуі:    Бұл жағдайда екінші тік жолдан төртінші тік жолды шегерсек

                

7-мысал.          5- ретті анықтауышты есептеу керек

                                

          

Шешуі:    Бірінші жатық жолдағы 1 санын пайдалана отырып, 3-жатық жолдағы 4 пен 4-жолдағы 5-ті нөлге айналдырамыз.Ол үшін бірінші жатық жолды   4-ке көбейтіп, үшінші жатық жолға , 5-ке көбейтіп төртінші жатық жолға қосамыз. Одан кейін бірінші тік жол арқылы жіктеп, төртінші ретті анықтауыш аламыз:

                     

    Алынған анықтауыштың жатық жолындағы 1санын пайдалана отырып,жоғарыдағыдай осы жолдың қалған элементтерін нөлге айналдырамыз:

                        

Соңғы анықтауыштағы 1-жатық жолды 3-жатық жолға қосып, шыққан интегралдың нөлге тең екендігін көруге болады.

                          

 

Келесі интегралды есептеу керек:

                     15.                16.

                      17.                           18

 

2 Векторлар. Оларға қолданылатын сызықтық амалдар

Таңдалынып алынған жүйелер бірлігінде бір санмен сипатталатын физикалық шама скалярлық шама деп аталады. Мысалы, тығыздық, дененің массасы, оның тампературасы электрлік заряд т.с.-скалярлық шамалар.

Тек санмен ғана емес әрі кеңістікте бағыты бар шамалар векторлық шамалар немесе векторлар деп аталады. Мұндай шамаларға жылдамдық, үдеу, күш, электрлік немесе магниттік өрістердің кернеулері т.с. жатады. Векторлар бағытталған кесінділермен бейнеленеді. Олар бір семіз  әрпімен немесе сызығы бар екі әріппен яғни  арқылы белгіленеді.

Мұндағы  вектордың басы, ал оның соңы. Вектордың ұзындығы оның модулі деп аталады. немесе  арқылы белгіленеді. Ұзындығы нөлге тең, вектор нөл- вектор деп аталып  арқылы белгіленеді.

Екі вектор тең болады, егер 1) олардың ұзындығы тең, 2) олар параллель және 3) бір жаққа бағытталған болса.

Бұл анықтамадан векторды кез келген нүктеге параллель көшіруге болатындығы шығады.

Бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жататын векторлар коллинеарлы, ал бір жазықтықтың немесе параллель жазықтықтардың бойында жататын векторлар компланарлы векторлар деп аталады.

Ұзындығы бірге тең  векторы бірлік вектор немесе орта деп аталып,  арқылы белгіленеді.

 

 

 

2.2 Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

 

 Векторларды қосу параллелограмм ережесі бойынша орындалады:  және  векторлары ортақ О нүктесіне орналастырылып, оларға ОАВС параллелограмы құрылады. Мұндағы оның диогоналының бойында орналасқан  векторы  және  векторларының қосындысы деп аталады.

 векторы  векторына тең болғандықтан,  және  векторларының қосындысы деп  векторының бас нүктесін оның соңғы нүктесіне жалғастырылған  векторының соңғы нүктесімен қосатын векторды айтады. (үшбұрыштар ережесі). Яғни    

                                 +=                                                                (1)

     Ортақ О нүктесіне келтірілген  және  векторларының айырымы деп алынатын  векторының соңғы нүктесінен  векторының соңғы нүктесіне бағытталған векторды, яғни -=   айтады.

 (1)-формула бойынша +=,  бұдан

                                 =-                                                                  (2)

 векторының санына көбейтіндісі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын векторын айтады:1) векторы -ға коллинеарлы,

2)  ,  болғанда  және  векторлары бір жаққа бағытталған,  болғанда  қарама-қарсы бағытталған.

              

 

Қасиеттері:

         1)   =;

2)  =0, ;

         3)  =;

         4)  ; 

         5)  .

 өсімен = векторы берілсін. Вектордың басы мен соңын  өсіне проекциялап , векторын аламыз.

 

 

 

 векторының  өсіне проекциясы пр  арқылы белгіленіп,  векторының ұзындығына тең болады, егер  мен  бағыттас болса; қарама-қарсы болған жағдайда теріс таңбамен алынады.

Қасиеттері:

1) пр=, мұндағы 

2) пр ;

3) .

1-мысал.    болу үшін  және  векторлары қандай шартты қанағаттандыру керек?

Шешуі:   және  векторларын ортақ бір О нүктесінен шығатындай етіп орналастырып, оларға параллелограмм құрастырамыз. (1- сурет). Бұл жағдайда  деп отырғанымыз осы параллелограммның ОС диогоналының ұзындығы, ал -ВА диогоналының ұзындығы болады. Геометриядан параллелограммның диогоналдары тек олар тікбұрышты болғанда ғана тең болатындығы бізге мәлім. Сондықтан  болу үшін  және  векторлары перпендикуляр болуы қажет.

2-мысал    Берілген  және  векторлары арқылы  және  векторларын салыңыз.

Шешуі:

 

19. Берілген және  векторлары арқылы   ;   ;  векторларын салыңыз.

20.  ,   және  векторларының қосындысының  өсіне проекциясын табу керек, егер , ,  ал осы векторлардың  өсімен бұрыштары сәйкесінше ,,-ге тең.

21. Егер: 1) , 2)  болса, онда  және  векторлары қандай шарттарды қанағаттандыруы қажет?

                 

3.  Кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар