7.2 Матрицаның меншікті векторлары және сипаттамалық сандары

                                                                                                (4)                                                                                                                                                

шартын қанағаттандыратын нөлге тең болмайтын  векторы  түрлендіруінің меншікті векторы, ал  саны осы  векторына сай сипаттамалық сан деп аталады.  матрицасының сипаттамалық сандары , оның төмендегі сипаттамалық теңдеуінің түбірлері болады:

                                                                                                         (5)             

немесе ашып жазсақ

                                                                           (5')

Жалпы жағдайда (5) – теңдеудің  сипаттамалық мәндері (түбірі)

болады, бірақ түбірлері еселі болғанда сипаттамалық сандар кемиді.

Сипаттамалық  санына сай болатын меншікті  векторы төмендегі жүйеден анықталады

                                                            (6)

(4) – теңдеумен анықталатын меншікті векторлар, сандық көбейтінді дәлдігімен анықталатындықтан,  (6) – жүйені шешкенде  векторының бір координатын тұрақты бір мәнге тең етіп алуымызға болады. Егер  еселі түбір болса, онда (6) – жүйе біреуден артық (көп) өзіндік бағыттар анықтайды.

4- мысал.  матрицасымен берілген  сызықтық түрлендірудің сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.

Шешуі: Берілген түрлендірудің сипаттамалық теңдеуін құрамыз:

               оның түбірі  түрлендірудің сипаттамалық сандары болады.

      сипаттамалық санына сай келетін меншікті  векторы төмендегі жүйемен анықталады:

               яғни .

       деп алып,  болатындығын көреміз. Сондықтан .

        сипаттамалық санына сай келетін меншікті  векторы төмендегі жүйемен анықталады:

                яғни 

деп алып,  болатындығын көреміз. Сондықтан 

5-мысал.    матрицасымен берілген сызықтық түрлендіруге кері түрлендіру -дің сипаттамалық сандары бастапқы  түрлендіруінің сипаттамалық сандарына кері болатындығын көрсету керек.

Шешуі:   матрицасын табамыз:

  

 

Оның сипаттамалық теңдеуін құрастырамыз:

.

Оның түбірі .        Дәлелдеу керегіде осы еді.

6-мысал.

                             матрицасымен берілген түрлендірудің сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.

Шешуі:    Берілген түрлендірудің сипаттамалық теңдеуін құрамыз:    

                                       

Оның түбірі  түрлендірудің сипаттамалық сандары болады.

       сипаттамалық санына сай келетін меншікті  векторы төмендегі жүйемен анықталады:

          немесе   

Соңғы жүйедегі үшінші теңдеу алғашқы екеуінің сызықтық комбинациясы болады.  сондықтан оны төмендегі екі теңдеудің жүйесіне келтіреміз:

                         

 деп алып жүйені шешсек,

                          

 Сонымен .

  сипаттамалық санына сай келетін  векторы төмендегі жүйемен анықталады:

                             

 

                                                  

Жүйені шешу арқылы   табамыз.

 сипаттамалық санына сай келетін  векторы жоғарыдағыдай анықталады.

 

80. және  матрицалары берілген, , бірақ  және  түрлендірулерінің сипаттамалық сандары тең болатындығын көрсету керек.

81. Симметриялық

                            матрицасының сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.