ҚАЗАҚСТАН  РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ  БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ

МИНИСТІРЛІГІ

"Алматы энергетика және байланыс институтының "

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

 

 

С.Е. Ералиев 

 

Сызықтық алгебраның элементтері

Оқу құралы

 

      Бұл оқулық техникалық жоғары оқу орындарының бағдарламасына сай жазылған. Оқулықта анықтауыштар, векторлар, матрицалар және сызықты теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері қарастырылған. Тақырыптарды терең түсіну үшін таңдалынып алынған  мысалдар қарастырылған және әрбір параграфтың соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

      Оқулық техникалық жоғары оқу орындары мен колледждердің студенттеріне арналған.

                                                                  

  

1 Анықтауыштар

1.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Қасиеттері

1- анықтама. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар келесі теңдіктермен анықталады:

               ,                                                       (1)    .           (2)

сандары анықтауыштың элементтері деп аталады. Элементтің бірінші  индексі жатық жолының нөмірін, ал екінші индексі тік жолының нөмірін анықтайды.(1)- дегі  сандары және (2)- дегі  сандары орналасқан диогональ негізгі, ал (1)- дегі  және (2)- дегі  сандары орналасқан диогональ қосалқы деп аталады.

Екінші ретті анықтауышты есептеу үшін оның негізгі диогональ элементтерінің көбейтіндісінен қосалқы диогональ элементтерінің көбейтіндісін шегеру қажет.

Үшінші ретті анықтауыштың мәні үшбұрыштар немесе Сайрюс ережесі деп аталатын сұлба бойынша алғашқы үш қосылғыш « + » таңбасымен, ал қалған үш қосылғыш «-» таңбасымен алынып, былай есептелінеді:

Төртінші және одан да жоғары ретті анықтауыштарды есептеу үшін анықтауыштың қасиеттерін білу қажет.

Екінші ретті анықтауыштың қасиеттері кез келген анықтауыштарға да орындалады, сондықтан оның қасиеттерін тек екінші ретті анықтауыш үшін дәлелдейік.

1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын оның сәйкес тік жолдарымен орын алмастырсақ ( транспонирлесек), онда оның мәні өзгермейді:

Дәлелдеуі.  яғни олар тең.

2-қасиет. Анықтауыштың екі жатық (тік) жолының сәйкес элементтерінің орнын алмастырсақ, онда оның тек таңбасы өзгереді:

             

 

 

 

Дәлелдеуі. Шынында

3-қасиет. Анықтауыштың бір жатық (тік) жолының барлық элементтерін  санына көбейтсек, онда анықтауыштың мәні  есе артады:

Дәлелдеуі.

         

Салдар. Анықтауыштың жатық (тік) жолының әр элементіндегі ортақ көбейткішті анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.

2-салдар. Анықтауыштың екі жатық (тік) жолының сәйкес элементтері пропорционал болса, онда ол нөлге тең болады.

4-қасиет. Анықтауыштың - жатық (тік) жолының элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда ол анықтауыштың мәні төмендегідей екі анықтауыштың мәндерінің қосындысына тең болады:

 

Дәлелдеуі. Шынында

Яғни 

         5-қасиет.   Анықтауыштың кез келген жатық (тік) жолының барлық элементтерін К санына көбейтіп, басқа кез келген жатық (тік) жолының сәйкес элементтеріне қоссақ, онда оның мәні өзгермейді:

  

Дәлелдеуі:   

Анықтауыштың келесі екі қасиеті минор және алгебралық толықтауыш түсініктемелеріне байланысты.

 

 

2-анықтама.  Анықтауыштың   элементтерінің  миноры деп сол элемент тұрған жатық жолымен тік жолын сызып тастағанда пайда болатын анықтауышты айтады.    Мысалы,    анықтауышының   элементінің миноры деп   анықтауышын айтады.

3-анықтама. Анықтауыштың  элементінің  алгебралық толықтауышы деп  таңбасымен алынған осы элементтің минорын айтады, яғни

Мысалы, жоғарыдағы үшінші ретті анықтауыштың  элементінің алгебралық толықтауышы деп  , , элементінің алгебралық толықтауышы деп    анықтауышын айтады.

6-қасиет.  Анықтауыштың кез келген жатық (тік) жолының элементтері мен олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыштың мәніне тең болады:

        

Дәлелдеуі.      

  

Салдар.    Егер анықтауыштың - жатық жолының (тік жолының) бір элементінен өзге барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың мәні осы элементпен оның алгебралық толықтауышының көбейтіндісіне тең болады.

                         

1-мысал.  Есептеу керек.

                           

Шешуі:  1- формуланы қолданамыз

 

2-мысал. Анықтауышты есептеу керек

                             

Шешуі:  2-формуланы қолдансақ

 

3-мысал.  -ң  қандай мәнінде  анықтауышы нөлге тең болады? Мұндағы 

Шешуі:    ;  болады, егер 

4-мысал.     анықтауышын бірінші жатық жолдың элементтерінің көмегімен жіктеу арқылы есептеу керек.

Мұндағы

Шешуі: Мұндағы . Олардың алгебралық толықтауыштары:

6-қасиет бойынша

5-мысал.   4-мысалдағы  анықтауышын 6-қасиеттің  салдарын пайдалана отырып есептеу керек.

               Шешуі:   

 

Төмендегі анықтауыштарды есептеу керек:

 

1.          2.       3.

 

4.  5. 6.

 

7.     8.                9.

  

Төмендегі анықтауыштарды 6-қасиетті немесе оның салдарын пайдалана отырып есептеу керек:

10.  11.     12.

13.          14.