Приклад розрахунків

Методом LU-розкладання розв’язати СЛАР:

Сформуємо матрицю із коефіцієнтів системи: .

Отримаємо формули для розкладання матриці А, виконавши перемноження матриць LU=A:

Таким чином:

,

Розв’яжемо систему :

Розв’яжемо систему :

Виконаємо розкладання матриці А через операції матричного множення.

. Формуємо М₁: ; . .

Помножимо матрицю А зліва на М₁, отримаємо матрицю А₁:

.

Утворимо матрицю М₂: ; .

.

Помножимо матрицю А₁ зліва на М₂, отримаємо матрицю А₂:

.

Утворимо матрицю М₃: . .

Помножимо матрицю А₂ зліва на М₃, отримаємо матрицю А₃, яка буде також матрицею U:

.

Нижню трикутну матрицю L отримуємо з ненульових стовпців матриць (змінюємо знаки!):

.

Завдання

Розв’язати СЛАР методом LU-розкладання (будь яким способом)

№	СЛАР	№	СЛАР
1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.

Ітераційні методи

Для розв’язування СЛАР ітераційними методами необхідно систему (1) перетворити до вигляду:

,

(9)

або . Така система називається зведеною, її можна отримати, наприклад, якщо кожне i-рівняння системи (1) розв’язати відносно змінної . Тоді:

(10)

Всі ітераційні методи знаходять наближений розв’язок у вигляді послідовності наближень (ітерацій):

які отримуються з системи рівнянь (14). При побудові ітерацій постають питання про початок і кінець процесу обчислень.

Будь який ітераційний процес починається з того, що задається початкове наближення:

.

Як правило припускають, що

, або . (11)

Так як наближений розв’язок шукається з наперед заданою точністю , то послідовність повинна мати скінчену кількість членів, які отримуються за скінчену кількість ітерацій.

Найпростіша умова закінчення ітераційного процесу:

. (12)

Тобто, обчислення продовжують до тих пір, доки абсолютна величина різниці між попереднім й наступним наближеннями не стане менше деякої наперед заданої точності :

Для дослідження збіжності ітераційного процесу користуються теоремою про достатню умову збіжності:

Якщо для зведеної системи (9) будь-яка канонічна норма матриці  менше одиниці , то ітераційний процес збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.

Канонічною нормою матриці називається будь-яке дійсне додатне число, яке визначається за такими умовами:

• перша канонічна норма – це максимальна з сум модулів елементів матриці  по рядках;

• друга канонічна норма – це максимальна з сум модулів елементів матриці  по стовбцях;

• третя канонічна норма (максимальна) – це добуток вимірності матриці  на її максимальний по модулю елемент;

• четверта канонічна норма (сферична або Евклідова) – це корінь квадратний з сум квадратів модулів всіх елементів матриці .

Умова збіжності по відношенню до матриці А системи (1) набуває такого змісту: процес ітерації буде збіжним, якщо модулі діагональних елементів матриці А будуть більші за суму модулів її сторонніх елементів в рядках або стовпцях (принцип домінування діагональних елементів):

. (13)

До такого вигляду систему (1) можна привести, застосовуючи правила лінійного комбінування.

Метод простої ітерації.

Кожне наступне наближення і-ой невідомої , і=1,2,…,n визначається за допомогою системи рівнянь (9), в яких всі доданки правої частини беруться з попередній k-ітерації:

(14)

Або система (14) в компактній формі:

(15)