4. Пример моделирования

Рассмотрим пример моделирования системы автоматического управления по рис.1 при коэффициенте усиления K=8 и постоянной времени апериодического звена T=4, дополнив эту систему нелинейным звеном «зона нечувствительности». Структурная схема модели в этом случае принимает следующий вид, показанный на рис.10.

Задавая те же параметры моделирования, что и в 1-ой лабораторной работе получаем для фазовой траектории при начальных значениях x = 10, y = 0 результат, показанный на рис.11 тонкой линией. При введении нелинейного звена с зоной нечувствительности от –2 до 2 фазовую траекторию, показанную более толстой линией.

Рис.10. Система с нелинейностью «зона нечувствительности»

Рис.11. Фазовая траектория систем с нелинейностью и без нее

Из сопоставления этих траекторий можно сделать вывод о том, что наличие нелинейности типа «зона нечувствительности» приводит к появлению линейного участка в диапазоне зоны нечувствительности. Кроме этого, необходимо отметить, что при наличии нелинейности переходный процесс заканчивается не в точке с координатами (0,0), кА это было в случае линейной системы.

После проведения нескольких опытов можно получить фазовый портрет системы с нелинейностью типа «зона нечувствительности». В нашем примере этот портрет принимает вид, показанный далее на рис.12.

Рис.12. Фазовый портрет системы с нелинейностью

Из фазового портрета следует, что система с нелинейностью типа «зона нечувствительности» по отношению к портрету линейной части не изменяет ее характера (система совершает колебания к установившемуся значению, которым в данном случае является не особая точка, а особый отрезок с длиной, равной зоне нечувствительности). Внутри зоны нечувствительности система имеет линейный участок фазовых траекторий.

На рис.13 приведен переходный процесс в системе при наличии зоны нечувствительности и начальном значении x = 10.

Сопоставление переходных процессов в нелинейной системе (толстая линия) с процессами в линейной (тонкая линия) показывает, что при наличии нелинейного звена в виде «зоны нечувствительности» система:

а) совершает колебания с уменьшающейся частотой,

б) число колебаний до установившегося процесса снижается,

в) внутри зоны нечувствительности переходный процесс носит экспоненциальный характер.

Далее повторим все результаты моделирования для нелинейного звена типа «люфт» по структурной схеме, приведенной на рис.14. Ширину зоны люфта примем равной 4.

На рис.15 приведена фазовая траектория линейной и нелинейной системы при начальном значении x = 10.

Рис.13. Переходный процесс в системе с нелинейностью

Рис.14. Система с нелинейностью типа «люфт»

Из приведенных траекторий следует, что колебательный характер системы не изменился, но процесс колебаний носит расходящийся характер. Увеличение амплитуды колебаний имеет предел. В этом случае говорят, что переходный процесс в качестве установившегося значения имеет предельный цикл.

На рис.16 приведен фазовый портрет нелинейной системы, из которого следует, что при начальных значениях за пределами этого цикла, колебания в системе с течением времени уменьшаются, стремясь к тому же, что и в предыдущем случае, предельному циклу.

Рис.15. Фазовая траектория системы с нелинейностью (толстая линия) и системы без нелинейности (тонкая линия)

Рис.16. Фазовый портрет системы с нелинейностью типа «люфт»

Характер переходных процессов при стремлении к предельному циклу показан далее на рис.17, где приведены результаты моделирования с начального значения x = 5 изнутри предельного цикла и со значения x = 15 снаружи этого цикла.

Рис.17. Переходный процесс с нелинейностью типа «люфт»