Лабораторная работа № 2 исследование нелинейных систем автоиматического управления

1. Цель и задача работы

Целью работы является изучение особенностей поведения нелинейных систем автоматического управления, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений, на основе ее фазового портрета.

Задачей работы является приобретение навыков исследования нелинейных систем автоматического управления с помощью приложения Simulink системы MatLab.

Продолжительность работы – 4 часа.

2. Задания к лабораторной работе

Для системы автоматического управления, заданной преподавателем, построить фазовый портрет и дать заключение о типах особых точек и поведении системы на различных фазовых траекториях. Описание системы автоматического управления по заданию представлено в виде двух нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши.

3. Порядок выполнения работы

1. Исходя из системы заданных преподавателем нелинейных дифференциальных уравнений, определить дифференциальное уравнение фазовых траекторий.

2. Найти координаты особых точек системы.

3. Найти частные производные от правых частей уравнения по фазным координатам.

4. Получить дифференциальные уравнения отклонений линеаризованной системы вблизи особых точек.

5. В командном окне Matlab задать матрицу коэффициентов линеаризованной системы.

6. Найти с помощью операторов собственные числа этой матрицы.

7. Дать заключение на основе полученных собственных чисел о типе особых точек.

8. Построить по дифференциальным уравнениям заданной системы автоматического управления ее математическую модель и набрать ее в приложении Simulink.

9. Получить как в первой лабораторной работе достаточный объем фазовых траекторий, чтобы можно было дать заключение о поведении системы в окрестностях всех особых точек.

10. Сделать выводы о соответствии полученных в результате анализа данных о поведения системы по линеаризованным уравнениям вблизи особых точек и результатов моделирования этого поведения с помощью приложения Simulink.

4. Пример моделирования

Рассмотрим основные принципы исследования фазового портрета на примере системы автоматического управления, описание которой представлено в виде системы нелинейных уравнений

.

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий получим, исключая время из этой системы

_{Найдем координаты особых точек из решения системы уравнений}

.

В результате расчета получаем координаты трех особых точек:

1. x = 0, y = 0; 2) x = 1, y = –1 3) x = –1, y = 1

Исследуем поведение системы вблизи первой особой точки. Для этого определим производные по x и по y от правых частей исходных дифференциальных уравнений.

,

,

,

.

Переходим к уравнению в приращениях, раскладывая правые части нелинейных уравнений в ряд, оставляя в нем только члены с первыми производными

_{Составляем матрицу коэффициентов при неизвестных линеаризованной системы}

и задаем ее в командной строке Matlab следующим оператором A = [–1, –2;1,1]. Далее с помощью оператора в командной строке «eig(A)» находим ее собственные числа, которые являются корнями характеристического уравнения линейной системы, записанной в отклонениях от установившегося состояния.

Получаем значения корней в виде пары чисел (0+j,0–j). При этом вещественная часть корней равна нулю, что означает консервативную колебательную систему с угловой частотой колебаний, равной мнимой части, т.е. единице. Определим период колебаний τ = 2π = 6,283 с.

В особой точке с координатами x = –1, y = 1 получим следующую линеаризованную систему в отклонениях от этой точки

Этой системе соответствует матрица коэффициентов

.

Собственные числа этой матрицы вещественные и равны 0,5616 и –3,5616. Так как корни вещественные и с разными знаками получим особую точку в виде «седла».

Особой точке с координатами x = 1 и y = –1 соответствует линеаризованная система дифференциальных уравнений с такой же матрицей коэффициентов, поэтому вблизи этих координат имеем также особую точку в виде «седла».

На рис.6 показана структурная схема нелинейной системы, описываемой заданной системой нелинейных дифференциальных уравнений, набранная в приложении Simulink.

Моделирование фазовых траекторий будем производить в диапазонах, несколько больших, чем координаты особых точек. По оси x ,будем варьировать значения от –2 до 2, а по оси y от –1,5 до 1,5. За начальные значения будем брать x = ± 1,5 и y = ± 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,25; 1.5. Длительность и шаг интегрирования будем выбирать из тех же соображений, что и в первой лабораторной работе, взяв за основу значения корней характеристического уравнения, полученные по матрицам коэффициентов линеаризованных дифференциальных уравнений.

На рис.7 показаны результаты моделирования в виде фазового портрета, из анализа которого следует, что на предварительном этапе координаты особых точек были определены правильно.

Рис.6. Модель нелинейной системы

Рис.7. Фазовый портрет нелинейной системы

Отклонения от результатов предварительного анализа (в частности наличие в фазовых траекториях вблизи особой точки (0,0) вместо незатухающих колебаний небольшого демпфирования этих колебаний) объясняется тем, что в разложении в ряд Тейлора не учитывались члены более высокого порядка. Правая часть первого нелинейного дифференциального уравнения имеет кроме первой и вторую производную.

На рис.8 приведен переходный процесс y = f(t), полученный в результате моделирования с начальными значениями x = –2, y = 1. Этот процесс показывает в действительности очень малый коэффициент демпфирования, который снижается по мере приближения к особой точке. Период колебаний соответствует периоду, рассчитанному на предварительном этапе.

 

Рис.8. Переходный процесс y = f(t)

По результатам моделирования можно сделать выводы:

а) характер переходных процессов действительно носит колебательный характер вблизи особой точки (0,0).

б) при начальных значениях x = –2, y < 0 и y>1, а также при x = 2, y > 0 и y < –1 переходный процесс имеет апериодический неустойчивый характер

в) фазовый портрет имеет соответствующие характеру переходных процессов особые точки: «устойчивый фокус» и «седло».