Лабораторна робота № 8

Тема: Рекурсивні функції

Мета: вивчити способи реалізації алгоритмів з використанням рекурсії.

8.1.1 Короткі теоретичні відомості

Рекурсія - це спосіб організації обчислювального процесу, при якому функція в ході виконання операторів, що входять в неї, звертається сама до себе. Класичним прикладом є обчислення факторіалу n! (n>0)

double Faktorial_R (int n) {

if (n < 2) return 1; // Умова закінчення рекурсії

else

return n* Faktorial_R (n - 1); // Рекурсивне звернення до функції

}

При виконанні правильно організованої рекурсивної функції здійснюється послідовний перехід від поточного рівня організації алгоритму до нижнього рівня, в якому буде отримано рішення задачі (у наведеному прикладі при n < 2), що не вимагає подальшого звернення до функції (не рекурсивне).

При описі алгоритмів використовуємо наступні стандартні фігури блок-схем :

8.1.2 Приклад виконання завдання

Написати програму обчислення факторіалу позитивного числа n, що містить функції користувача з рекурсією і без рекурсії.

8.1.2.1. Реалізація завдання у віконному застосуванні

Вид форми і отримані результати представлені на мал. 8.1.1. Компонента Edit1 використовується для введення n, а компоненти Edit2 і Edit3 - для виведення результатів.

Лістинг програми може мати наступний вигляд:

Блок-схема функції-обробника Button1Click представлена на мал. 8.1.2.

. . .

double Faktorial(int);

double Faktorial_R(int);

//--------------------- Кнопка START ---------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

int n = StrToInt(Edit1 ->Text);

switch(RadioGroup1 ->ItemIndex){

case 0:

Edit2 ->Text = FloatToStrF(Faktorial_R(n), ffFixed, 8, 1);

break;

case 1:

Edit3 ->Text = FloatToStrF(Faktorial(n), ffFixed, 8, 1);

break;

}

}

//------------------ Функція без рекурсії ---------------------------------------

double Faktorial(int n) {

double f = 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) f *= i;

return f;

}

//------------------- Рекурсивна функція ----------------------------------------

double Faktorial_R(int n) {

if (n < 2) return 1;

else

return n*Faktorial_R(n - 1);

}

Мал. 8.1.1

Мал. 8.1.2

Блок-схеми функцій користувача Faktorial_R і Faktorial представлені на мал. 5.1.3.

Мал. 8.1.3

8.1.2.2. Реалізація завдання в консольному застосуванні

Тексти функцій користувача дивитеся в попередньому прикладі, а лістинг основної функції може мати наступний вигляд:

…

#include <iostream.h>

…

double Faktorial(int);

double Faktorial_R(int);

void main(void)

{

int n, kod;

while(true){ // Нескінченний цикл з виходом по default

cout << "\n\tInput n " ;

cin >> n;

cout << "\n Recurs - 0\n Simple - 1\n Else - Exit" << endl ;

cin >> kod;

switch(kod){

case 0:

cout << "\t Recurs = " << Faktorial_R(n) << endl;

break;

case 1:

cout << "\t Simple = " << Faktorial(n) << endl;

break;

default: return;

}

}

8.2. Індивідуальні завдання

Скласти алгоритм у вигляді блок-схеми, написати і відлагодити поставлене завдання з використанням рекурсивної і звичайної функцій. Порівняти отримані результати.

1. Для заданого цілого десяткового числа N отримати його представлення в p -ічній системі числення (p < 10).

2. У впорядкованому масиві цілих чисел ai (i = 1, ..., n) знайти номер елементу c, що знаходиться в масиві, використовуючи метод двійкового пошуку.

3. Знайти найбільший загальний дільник чисел M і N, використовуючи теорему Ейлера: якщо M ділиться на N, то НЗД (N, M) = N, інакше НЗД(M%N, N).

4. Числа Фібоначчі визначаються таким чином: Fb(0)=0; Fb(1)=1; Fb(n) = Fb(n - 1) + Fb(n - 2). Визначити Fb(n).

5. Знайти значення функції Аккермана A(m, n), яка визначається для усіх ненегативних цілих аргументів m і n таким чином :

A(0, n) = n + 1;

A(m, 0) = A(m - 1, 1); при m > 0;

A(m, n) = A(m - 1, A(m, n - 1)); при m > 0 і n > 0.

6. Знайти методом ділення відрізку навпіл мінімум функції f(x) = 7*sin(2*x) на відрізку [2, 6] із заданою точністю (наприклад, 0.01).

7. Вичислити значення x = , використовуючи рекурентну формулу x_{n =} , в якості початкового значення використовувати x_{0 =} 0,5*(1 + a).

8. Знайти максимальний елемент в масиві ai (i=1, (, n), використовуючи очевидне співвідношення max(_a1, (, an) = max[max₍a1, (_{, an} - 1)_, an].

9. Вичислити значення y(n) = .

10. Знайти максимальний елемент в масиві ai (i=1, (, n), використовуючи співвідношення (ділення навпіл) max(_a1,(, an) = max[max₍a1,(_{, an/}2), max_(an/2+1, ₍, an)].

11. Вичислити значення y(n) = .

12. Вичислити твір парної кількості n (n ( 2) співмножників наступного виду y = .

13. Вичислити y = xn за наступним правилом: y = (x^n/2)² якщо n парне і y = x * y^{n - 1}, якщо n непарне.

14. Вичислити значення (значення 0! = 1).

15. Вичислити y(n) = , n задає число східців.

16. У заданому масиві замінити усі числа, що граничать з цифрою «1», нулями.

Контрольні питання

1. Дайте визначення підпрограми.

2. Дайте визначення рекурсії та рекурсивної функції.

3. Що таке прототип функції та в чому полягає його призначення?

4. Поясніть своїми словами механізми роботи рекурсивних функцій.

5. В чому полягає особливість рекурсивної функції?

6. Чи можна вирішити запропоновані задачі без використання рекурсії? Поясніть свою відповідь.