2.3. Обробка результатів прямих багаторазових вимірювань

Послідовність обробки результатів прямих багаторазових вимірювань складається з ряду етапів.

1. Визначення точкових оцінок закону розподілу результатів вимірювань

На цьому етапі визначаються середнє арифметичне значення x_сер вимірюваної величини, СКВ результату вимірювань S_x

Відповідно до критерію Романовського грубі похибки виключаються, після чого проводиться повторний розрахунок оцінок середнього арифметичного значення і його СКВ.

Критерій Романовського застосовується, якщо число вимірювань n<20. При цьому обчислюється відношення

| x_i - х_сер |

β = --------------

S_x

де:

x_i – перевіряєме значення;

x_сер – середнє арифметичне значення вимірюваної величини;

S_x – середньоквадратичне відхилення (СКВ).

Далі розрахункове значення β порівнюється з критерієм β_т, обраним за таблицею 5. Якщо β ≥ βт, тоді результат x_i вважається промахом і відкидається.

2. Визначення закону розподілу результатів вимірювань або випадкових похибок.

         Тут за результатами вимірювань і проведеними розрахунками будується гістограма або полігон. По виду побудованих залежностей може бути оцінений закон розподілу результатів вимірювань.

3. Визначення довірчих меж випадкової похибки

Якщо вдалося ідентифікувати закон розподілу результатів вимірювань, то з його використанням знаходять квантільний множник z_P при заданому значенні довірчої ймовірності Р. У цьому випадку довірчі межі випадкової похибки Δ = ± z_P • S_x .

При n < 30 часто використовують розподіл Стьюдента, при цьому довірчі межі випадкової похибки

Δ_P = ± t_P • S_x / √n .

де:

t_P – коефіциент Стьюдента,

S_x – СКВ середнє арифметичного значення,

n – кількість вимірювань.

4. Запис результату вимірювання

Результат вимірювання записується у вигляді x = x_ср ± Δ_P при довірчій ймовірності Р = Р_Д.

Приклад

При проведенні іспитів залізобетонних балок отримані різні по величині (в мм) вимірювання відскоку склерометру (кількість вимірювань n = 7):

х₁ = 8,2; х₂ = 8,5; х₃ = 8,1; х₄ = 8,7; х₅ = 8,3;

х₆ = 9,0; х₇ = 9,5;

Розв'язок

1. Визначення точкових оцінок закону розподілу результатів вимірювань.

Поперед всього необхідно встановити, чи є величина х₇ = 9,5мм помилковою та слід чи ні враховувати її при розрахунку х_сер .

Для цього розраховують х_сер, середнє квадратичне відхилення S_x, точність ε та надійність вимірювань α.

Обробка отриманих вимірювань записується у виді таблиці 4.

Таблиця 4.

Номер вимірювань	Величина хi , мм	Відхилення величини хi від середнього (хi – хсер), мм	Квадрат відхилень (хi – хсер)2, мм2
1	8,2	- 0,27	0,0729
2	8,5	+ 0,03	0,0009
3	8,1	- 0,37	0,1309
4	8,7	+ 0,23	0,0529
5	8,3	- 0,13	0,0169
6	9,0	+ 0,51	0,2601

6 6

∑ х_i = 50,8; ∑ (х_i – х_сер)² = 0,5406

1 1

Визначають середнє арифметичне значення результатів вимірювань:

6

∑ х_i

1 50,8

х_сер = -------- = --------- = 8,47

n 6

Розраховують середнє квадратичне відхилення S_x (СКВ) по формулі:

6

∑ (х_i – х_сер)² 0,5406

1

S_x = ± √ ---------------------- = ±√ ----------- = ± 0,33

n – 1 5

Проводимо перевірку на наявність грубих похибок в результатах вимірювання за критерієм Романовського.

Якщо прийняти імовірність β = 0,05 (таблиця 5), то при розрахунку х_сер вимірювання х₇ = 9,5 слід не враховувати, так як:

│‌‌‌х₇ - х_сер ‌│ 9,5 – 8,47

β = --------------- = --------------- = 3,1 > β_т = 2,777

S_x 0,33

Величина t_β = 2,777 отримана із таблиці 5 при n = 6 та рівні значності 0,05.

Якщо прийняти рівень значності 0,02, то вимірювання х₇ при розрахунку х_сер слід враховувати при розрахунку х_сер , так як:

х₇ - х_сер 9,5 – 8,47

β = ------------ = --------------- = 3,1 < β_т = 3,635

s 0,33

Таблиця 5

Число вимірювань	Величина βт при рівні значності
	0,05	0,02	0,01	0,001
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	15,561 4,960 3,558 3,041 2,777 2,616 2,508 2,431 2,372 2,327 2,291 2,261 2,236 2,215	38,973 8,042 5,077 4,105 3,635 3,360 3,180 3,053 2,959 2,887 2,829 2,781 2,743 2,710	77,964 11,460 6,530 5,043 4,355 3,963 3,711 3,536 3,409 3,310 3,233 3,170 3,118 3,075	779,695 36,486 14,468 9,432 7,409 6,370 5,733 5,314 5,014 4,691 4,618 4,481 4,369 4,276