4.3 Согласованная фильтрация при когерентном приеме

Напомним, что согласованным называют фильтр, максимизирующий отношение сигнал/шум на выходе для определенного сигнала.

В п. 9.2.4 мы выяснили, что на выходе согласованного фильтра вычисляется корреляционный интеграл, а импульсная характеристика представляет собой зеркальное отображение сигнала (обычно с точностью до константы) относительно момента времени Т_с (рис. 9.7).

Рис. 9.7 – Структура оптимального приемника с согласованным фильтром

Оценим поведение согласованного фильтра. Для этого сделаем предположение, что z(t) представляет собой смесь полезного сигнала s(t) и белого гауссовского шума со спектральной плотностью мощности N₀/2. Сигнал на выходе фильтра тогда

,

(9.37)

где K_СФ(j) – комплексный коэффициент передачи согласованного фильтра, S(j) – спектральная плотность полезного сигнала. Решение в согласованном фильтре, как и в корреляторе, выносится в момент времени t = T_c. Поэтому несколько видоизменим (9.37), заменив везде t на T_c.

.

(9.38)

Чтобы получить максимум величины s_вых(T_c), необходимо найти оптимальный вид коэффициента передачи фильтра K_СФ(j). Для этой цели воспользуемся известным неравенством Буняковского- Шварца:

.

Неравенство обращается в равенство при условии, что

,

где с - произвольная константа. Применив результаты наших умозаключений к (9.38), получим, что максимума величина s_вых(T_c) достигнет при условии

.

(9.39)

С учетом последнего равенства в формулу (9.38) необходимо подставлять K_СФ(j) и S(j) в виде

где K_СФ(), S() – амплитудный спектр, а _СФ(), _s() – фазовый спектр коэффициента передачи согласованного фильтра и полезного сигнала соответственно.

Окончательно получаем

Разделим левую и правую части на S(), тогда

.

(9.40)

Выражение (9.40) позволяет определить амплитудно- и фазочастотную характеристику согласованного фильтра.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра

KСФ() = cS().

(9.41)

Как видно из (9.41), АЧХ фильтра с точностью до константы с повторяет огибающую спектра сигнала (рис. 9.8).

Рис. 9.8 – АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра

Фазочастотную характеристику фильтра определим из условия

,

откуда

,

(9.42)

где _s() - фазовый спектр полезного сигнала s(t); T_c – слагаемое, показывающее запаздывание выходного сигнала, поскольку оценка на выходе фильтра производится в момент Т_с, когда достигается максимум выходного сигнала.

В момент времени Т_с все спектральные составляющие выходного сигнала синфазны, следовательно, происходит их арифметическое суммирование, в результате формируется максимальное пиковое значение сигнала, благодаря чему выходное напряжение в момент Т_с дает наибольшее отношение мощности сигнала к мощности помехи.

Из (9.41) и (9.42) получим выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра

или

,

(9.43)

где -комплексно сопряженный спектр полезного сигнала.

Определим, как и для коррелятора, отношение сигнал/шум, которое может обеспечить оптимальный приемник-обнаружитель.

Отношение сигнал/шум определяем аналогично (9.29)

.

(9.44)

В момент времени Т_с мощность сигнала на выходе согласованного фильтра

.

(9.45)

Мощность помехи определяется ее дисперсией и равна

.

(9.46)

Поскольку помеха представляет собой белый шум, то , а коэффициент передачи согласованного фильтра определяем из выражения (9.41). Подставив все это в (9.46), получим

.

В то же время

,

определяется равенством Парсеваля (2.29), откуда

.

(9.47)

Подставив (9.45) и (9.47) в (9.44) получим

,

(9.48)

что полностью совпадает с отношением сигнал/шум для оптимального корреляционного приемника-обнаружителя. Результаты фильтрации снова не зависят от формы сигнала. Следовательно, преемник-обнаружитель с согласованным фильтром не нуждается в блоке детектора.

Важным свойством согласованных фильтров является их инвариантность ко времени прихода сигнала. Это позволяет строить фильтровые приемники по одноканальной схеме. Корреляционные же приемники сигнала с неизвестной фазой многоканальные.