§33. Формули Гріна для гармонічних функцій
Оскільки,
як відзначалось у §32, гармонічна функція
задовольняє рівняння Лапласа:
,
,
то з формул Гріна (32.5) і (32.7) отримаємо
для них:
,
(1)
,
(2)
.
(3)
Із цих формул випливає ряд властивостей гармонічних функцій:
1) Якщо
в (2) підставити
,
то для довільної гармонічної функції
маємо:
,
(4)
тобто інтеграл по замкнутій поверхні від нормальної похідної гармонічної функції дорівнює 0. При цьому припускається, що в області S функція φ скрізь гармонічна і неперервна разом з першими частинними похідним аж до межі.
2) Нехай
функція
φ
має стале значення С
на поверхні
:
(тобто
– поверхня рівня для
).
За доведеною властивістю (4) знаходимо:
.
Застосування ж формули (3) приводить до
рівності
,
звідки,
, (5)
тому
що інтеграл від невід’ємної функції =
0 тільки тоді, коли підінтегральна
функція = 0 скрізь в об’ємі інтегрування.
Із (5)
,
що
,
,
, тобто
в області
.
Отже, якщо
гармонічна в області
функція неперервна в області
і набирає сталого значення
на межі
,
то вона дорівнює тій же сталій
скрізь в області
.
Звідси випливає, що замкнута поверхня
не може бути поверхнею рівня гармонічної
функції, відмінної від тотожної константи.
Якщо ж для функції
замкнута поверхня
є поверхнею рівня, то всередині поверхні
функція
не скрізь визначена або не скрізь є
гармонічною.
3) Дві
гармонічні функції, значення яких
дорівнюють одне одному в усіх точках
замкнутої поверхні, тотожно рівні в
області, обмеженій заданою поверхнею.
Для доказу використаємо властивість
2) до гармонічної функції
,
яка дорівнює 0 на поверхні
,
тому скрізь всередині
ця функція тотожно дорівнює 0, тобто,
виконується рівність
,
звідки
.
З
встановленою властивістю гармонічних
функцій зв’язана постановка задачі
Діріхле:
визначити в області
функцію
,
яка 1) задовольняє в області
рівняння Лапласа
;
2) неперервна в замкнутій області
;
3) набирає на межі
заданих значень. Таким чином, задача
Діріхле полягає у визначенні гармонічної
функції за її значенням на замкнутій
поверхні.
4) Якщо
на замкнутій поверхні
нормальна похідна
гармонічної функції дорівнює 0:
,
то за формулою (3) маємо
,
звідки, як і у випадку другої властивості,
знаходимо, що
в усіх точках області
.
Отже, якщо
нормальна похідна гармонічної функції
дорівнює 0 на замкнутій поверхні, то в
усіх точках усередині поверхні функція
має одне й те саме стале значення.
З цією властивістю випливає постановка
задачі
Неймана
про визначення гармонічної в області
функції, якщо задано значення похідної
цієї функції
по нормалі на межі області.
§34. Інтегральні формули ля гармонічних функцій
В теоретичній фізиці широко застосовується формула, яка визначає значення гармонічної функції в довільній внутрішній точці області через значення цієї функції та значення її похідної по нормалі на межі області.
1) Інтегральна формула визначає гармонічну функцію всередині області , якщо відомі значення цієї функції та її похідної по нормалі на межі області (без виводу):
(1)
2) Теорема про середнє значення гармонічної функції: значення гармонійної функції в даній точці дорівнює середньому арифметичному значень цієї функції на поверхні сфери довільного радіуса з центром в даній точці.
Дійсно,
нехай
у формулі (1) – сфера радіуса
з центром в т. Р. Тоді напрям зовнішньої
нормалі є напрямом радіуса сфери, і тому
.
Підставляючи цю похідну в (1), знаходимо:
.
Але першій інтеграл за властивістю
(12.4) дорівнює 0 і тому:
.
(2)
3) Принципи екстремального значення: відмінна від константи гармонійна функція, визначена і неперервна в області , досягає свого найбільшого і найменшого значень лише на межі – області. Доказ здійснюється від супротивного: припущення про те, що гармонічна функція досягає найбільшого або найменшого значень в якійсь внутрішній точці області , суперечить, очевидно, теоремі про середнє значення.
4) Інтегральна формула для довільної функції: якщо в області , обмеженій поверхнею , задано довільну функцію φ, неперервну в області аж до границі разом з своїми похідними 1-го порядку і неперервними похідними 2-го порядку в області , то її значення в довільній т. Р внутрішньої області визначаються за формулою:
. (3)
У формулі
(3) подано інтеграли 3-х типів:
,
де f,
σ,
μ –
деякі функції. Перший з них називають
об’ємним
потенціалом,
другий - потенціалом
простого шару,
третій – потенціалом
подвійного шару. Формула
(3) подає довільну функцію як суму трьох
потенціалів: об’ємного, простого і
подвійного шару.
Формулу
(4) можна застосувати і до всього
нескінченого простору. Нехай
- сфера
радіуса
і
.
Якщо
при
спадає як
,
то поверхневий інтеграл в (3) при
зникає, і тому для будь–якої точки
простору дістанемо
,
(4)
де інтеграл береться вже по всьому нескінченому простору .