§31. Рівняння еліптичного типу

Рівняння еліптичного типу найчастіше зустрічаються при вивченні стаціонарних процесів різної природи: коливань (механічних, звукових, електро – магнітних і т. д.), теплопровідності, дифузії і ін. Найпростішим рівнянням такого типу є рівняння:

, (1)

яке називають рівнянням Пуассона. Відповідне однорідне рівняння:

(2)

називають рівнянням Лапласа. Рівняння такого типу отримується і в рівняннях параболічного типу, і в рівняннях гіперболічного типу, якщо функція не залежить від часу (стаціонарний процес). До рівнянь еліптичного типу відносяться, наприклад, основне рівняння електростатики:

. (3)

(Воно отримується з рівняння Гауса , якщо в нього підставити вираз, який зв’язує напруженість електростатичного поля з потенціалом: ). Це є рівняння Пуассона. Якщо ж в деякій області зарядів немає( ), то потенціал задовольняє рівнянню Лапласа:

. (4)

Функцію називають гармонічною в області , якщо вона неперервна в ній разом з своїми похідними першого й другого порядку і задовольняє рівняння Лапласа (4). Простим прикладом гармонічної функції і є функція , де - відстань між т. і т. простору. Це можна довести розв’язуванням рівняння Лапласа з сферичною симетрією, тобто коли (при цьому початок СК поміщено в т. ). Тоді рівняння Лапласа в сферичних координатах: . Інтегруємо: , де - довільні сталі. Зокрема, при і , – цю функцію називають фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа.

§32. Формули Гріна

Виведемо 2 важливі формули, які випливають з теореми Остроградського – Гауса. Нехай в об’ємі , обмеженому поверхнею , існують непреревні функції і з неперервними похідними 1-го порядку. Розглянемо в об’ємі векторну поле

(1)

і застосуємо формулу Остроградського – Гауса :

(2)

Але

, (3)

і також . (4)

Підставивши (3) і (4) в (2), дістанемо так звану першу формулу Гріна:

. (5)

Поміняємо в (5) і місцями: (6)

і віднімемо цю формулу від попередньої (5), тоді отримаємо другу формулу Гріна:

. (7)

Із першої формули Гріна при знаходимо:

, (8)

а при : . (9)

П охідну в цих формулах беруть за напрямом зовнішньої до поверхні нормалі. Якщо функції і не визначені назовні від поверхні , то слід замінити на , де – похідна за напрямом внутрішньої до поверхні нормалі.

Зауваження. Формули Гріна залишаються правильними для областей, які простягаються до , якщо тільки значення функцій досить швидко зменшуються при . Щоб уточнити це твердження, розглянемо спочатку область, обмежену ззовні поверхнею сфери настільки великого радіусу , що всі інші поверхні, які становлять межу області (якщо вони є), лежать всередині сфери. Тоді поверхневі інтеграли в 1-ій і 2-ій формулах Гріна слід брати по поверхні сфери . Але елемент поверхні сфери дорівнює(див. мал.) , де – тілесний кут, під яким видно елемент з центра сфери . Розглянемо тепер інтеграли по поверхні сфери, які входять до формули Гріна:

, .

З структури цих формул видно, що при інтеграли зникнуть, якщо і (а також і ) зменшуються при збільшені з такою ж швидкістю, як і відповідно. Отже, при виконанні цієї умови формули Гріна справедливі і для областей, що простягаються до .