§ 28. Рівняння параболічного типу.

Рівняння параболічного типу найчастіше зустрічаються в задачах, пов’язаних з вивченням процесів теплопровідності і дифузії.

1 ) Рівняння дифузії. Якщо концентрація розчиненої речовини в деякому об’ємі не є сталою, то відбувається дифузія речовини від місць з більшою концентрацією до місць з меншою концентрацією.

Розглянемо для прикладу дифузію солі у воді. Нехай сіль займає частину горизонтальної циліндричної пробірки і дифузує у воду. Концентрацію солі в довільному поперечному перерізі в момент вважатимемо певною функцією . За законом Нернста, маса солі, що пройшла за час через поперечний переріз трубки, дорівнює

, (1)

де D – коефіцієнт дифузії, який вважаємо сталим, S – площа поперечного перерізу. За тим же законом через переріз за час проходить маса

. (2)

Приріст кількості солі в елементі об’єму ( , ) за час дорівнює

. (3)

Приріст кількості солі викликає зміну концентрації розчину з часом, тобто

. (4)

Прирівнюючи два вирази для , отримаємо рівняння дифузії

. (5)

2) Рівняння теплопровідності:

Виділимо в нерівномірно нагрітому тілі замкнену поверхню . Через елемент цієї поверхні за одиницю часу проходить кількість тепла

, (6)

де – густина теплового потоку, яка задовольняє закону Фур’є:

, (7)

де – коефіцієнт теплопровідності. Через всю поверхню проходить кількість тепла

. (8)

З іншого боку, оскільки є приріст кількості тепла в одиниці об’єму за одиницю часу, то об’ємний інтеграл (із знаком “ – ”) визначає зменшення теплової енергії у всьому об’ємі . По закону збереження енергії

. (9)

Оскільки – довільний об’єм, то (10)

(10) виражає закон збереження теплової енергії в диференціальній формі. Використовуючи закон Фур’є, отримаємо:

. (11)

Оскільки , (12)

де – об’ємна теплоємність речовини, то отримаємо

або , (13)

де , . Для стержня маємо

, (14)

а при наявності джерел тепла (наприклад в провіднику тече струм):

. (15)

Рівняння (5) і (14) схожі – вони містять першу похідну по t і другі похідні по координатам. Диференціальні рівняння типу дифузії (5) або теплопровідності відносяться до рівнянь параболічного типу (рівняння параболи ). Як і у випадку гіперболічних рівнянь, їх необхідно доповнити початковими і крайовими умовами, що випливають з фізичних умов конкретної задачі. Наприклад, для рівняння теплопровідності початкова умова зводиться до задання температури в усіх точках стержня в певний момент часу, який будемо вважати моментом (тобто ми введемо відрахунок часу від цього моменту). Отже, початкова умова має вигляд

, (16)

де – задана функція.

Крайові умови задаються на кінцях стержня, абсциси яких нехай дорівнюють (лівий кінець) і (правий кінець). Їх можна записати, наприклад, у вигляді:

, , (17)

де – закон, по якому змінюється температура в лівому кінці стержня, - в правому. Якщо, наприклад, кінці знаходяться при сталих температурах , то

, . (18)

Інший вигляд мають граничні умови у випадку, коли через поперечний переріз стержня у лівому і правому його кінцях надходить тепло з оточуючого середовища. Тоді граничні умови:

, (19)

де Т₀ і Т₁ – температури середовищ, оточуючих кінці стержня.

Розв’язок рівнянь параболічного типу можна також здійснити за методом розподілу змінних – методом Фур’є, який ми розглянули в §6, і тому тепер розглядати не будемо. Його ідеї залишаються в силі і для виведених тут рівнянь дифузії і теплопровідності, і для інших рівнянь даного типу.