Приклади розв’язання задач

Тема 13. Варіаційне числення

Задача 1. На яких кривих може досягати екстремуму функціонал

Розв’язання. Тут так що рівняння Ейлера має вигляд . Його загальний розв’язок:

Граничні умови дають систему лінійних рівнянь для визначення і :

звідси

Отже, екстремум може досягатися лише на кривій .

Задача 2. Знайти екстремалі функціонала що задовольняють граничні умови

Розв’язання. Рівняння Ейлера має вигляд , звідки . Так як екстремаль не задовольняє умову , то дана варіаційна задача не має розв’язку.

Задача 3. Знайти екстремалі функціоналу:

що задовольняють граничні умови , .

Розв’язання. Рівняння Ейлера має вигляд ; його характеристичне рівняння має корені , а загальний розв’язок Використовуючи граничні умови, отримаємо: , де – довільна стала.

Індивідуальні домашні завдання до теми 13

1-26. Знайти екстремалі наступних функціоналів:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.

Додаток 1. Основні поняття векторної алгебри.

Ц ей додаток включений для повторення основних визначень векторної алгебри. Вектор – напрямлений відрізок в просторі. Позначається: , де - початкова точка, - кінцева точка; або , … Довжина вектора називається його модулем і позначається або . Одиничні вектори – вектори, довжина яких дорівнюють 1. Два вектори називаються рівними, якщо рівні їх модулі і співпадають їх напрямки (мал. 1)

Множення на скаляр: Якщо - дійсне число і - вектор, то добуток також є вектор з довжиною і напрямком, який співпадає з напрямком вектора , якщо , і з напрямком, протилежним напрямку вектора , якщо (мал. 2)

Д одавання векторів: Сума є вектор, який має початок, що співпадає з початком , і кінець, який співпадає з кінцем . (правило трикутника, мал. 3). Взагалі сума кількох векторів , ,…, визначається як вектор , який замикає колону складену із , ,…, (мал. 4).

Віднімання векторів: Різниця векторів розглядається як сума і (мал. 5).

Два вектора і називаються колінеарними, якщо прямі, що проходять в напрямках і , паралельні. Три вектори , , називаються компланарними, якщо вони паралельні одній площині. Якщо і не колінеарні, або , , не компланарні, то їх називають лінійно незалежними на площині або в просторі (тобто або тільки при ). Два вектори і ортогональні ( ), якщо вони взаємно перпендикулярні.

Д ля представлення векторів часто використовується Декартова система координат, яка утворюється трьома напрямленими прямим - вісями координат, що не лежать в одній площині. В прямокутній системі координат вісі взаємно ортогональні. Найбільше зустрічається права система координат (мал. 6), в якій вісі мають таку ж орієнтацію, як великий, вказівний і середній пальці правої руки. Інакше матимемо ліву систему координат.

Кожна точка в просторі може бути задана своїм радіус вектором : , де - одиничні вектори, напрямок яких співпадає з напрямками вісей відносно і називаються базисними векторами. Величини називаються декартовими координатами; при цьому пишуть або .

В прямокутній декартовій системі координат будь-який вектор можна представити в вигляді: ; де називаються декартовими координатами вектора (мал. 7)

Добуток векторів: Скалярний добуток векторів і , який позначають є число , де - кут між векторами і .

Під векторним добутком векторів і , який позначають , , , , , розуміють вектор , який має довжину (площа паралелограма, побудованого на і як на сторонах) і спрямований до і , причому так, що вектори утворюють праву трійку векторів. Подвійний векторний добуток: - це вектор компланарний векторам і і обчислюється по формулі: .

З мішаний добуток є скаляр, абсолютна величина якого дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , . Змішаний добуток додатній, якщо , , утворюють праву трійку, і відємний в протилежному випадку. Замість пишуть також або . Перестановка двох співмножників змінює знак у змішаному добутку:

Якщо , , задані в прямокутній декартовій системі координат:

, , то добутки можна виразити через декартові координати векторів:

скалярний добуток: ;

векторний добуток:

;

змішаний добуток: .

1Кажуть, що функція f(x) задовольняє в інтервалі (а, b) умови Діріхле, якщо вона або неперервна в цьому інтервалі, або має скінченну кількість розривів першого роду і, крім того, має скінченну кількість максимумів та мінімумів в цьому інтервалі.