§ 37. Варіація і її властивості.

1. Змінна величини називається функціоналом, залежним від функції , що позначається так: , якщо кожній функції з деякого класу функцій відповідає значення , тобто має місце відповідність: функції відповідає число . Аналогічно визначаються і функціонали, які залежать від декількох змінних.

2. Приростом, або варіацією аргументу функціонала називається різниця між двома функціями . При цьому припускаємо, що змінюється довільно в деякому класі функцій.

3. Функціонал називається неперервним, якщо малій зміні відповідає мала зміна функціоналу .

Вважається, що функції і близькі в нульовому порядку, якщо малим є модуль їх різниці , а в -му порядку, якщо малими є модулі різниць похідних , . Отже, функціонал є неперервним при в - му порядку, якщо для любого достатньо малого можна підібрати таке , що при .

4. Лінійним функціоналом називається функціонал , який задовольняє наступним умовам:

,

де с – довільна стала, і

.

Приклад лінійного функціоналу: .

5. Якщо приріст функціоналу можна представити у вигляді

,

де - лінійний по відношенню до функціонал, - максимальне значення і при , то лінійна по відношенню до частина приросту функціонала, тобто , називається варіацією функціонала і позначається : .

Отже, варіація функціонала – це головна, лінійна по відношенню до варіації аргументу частинка приросту функціонала. При досліджені функціоналів варіація відіграє ту ж саму роль, яку відіграє диференціал при дослідженні функції.

Для функціоналів виду або більш складних, залежних від декількох невідомих функцій або від функцій декількох змінних, можна визначати варіацію, як похідну від функціонала по при . Дійсно, якщо функціонал має варіацію, як головну частину приросту, то його приріст має вигляд:

Похідна від по при дорівнює:

тому що внаслідок лінійності , а , тому що при . Отже :

6) Варіація функціонала дорівнює .

7) Визначення функціонала досягає на кривій максимуму, якщо значення функціонала на любій близькій до кривій не більші, ніж , тобто

Якщо , причому тільки при , то говорять, що на кривій досягається строгий максимум. Аналогічно визначається крива , на якій реалізується мінімум. В цьому випадку для всіх кривих, близьких до кривої .

8) Теорема. Якщо функціонал , який має варіацію, досягає максимуму або мінімуму при , то при варіація функціоналу дорівнює нулю:

Доказ: При фіксованих і функціонал є функцією α, яка при α=0, по припущенню, досягає max або min, отже , похідна , або , тобто Отже, на кривих, на яких досягається екстремум функціонала, його варіація дорівнює 0.

Всі визначення цього параграфу і основна теорема майже без всяких змін переносяться на функціонали, які залежать від декількох невідомих функцій або залежать від однієї чи декількох функцій багатьох змінних: .